Qual è la mediana di una distribuzione t non centrale?

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Qual è la mediana della distribuzione t non centrale con parametro di non centralità ? Questa potrebbe essere una domanda senza speranza perché il CDF sembra essere espresso come una somma infinita e non riesco a trovare alcuna informazione sulla funzione CDF inversa. $\delta \ne 0$

— shabbychef
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Puoi approssimarlo.

Ad esempio, ho creato i seguenti adattamenti non lineari per (gradi di libertà) da 1 a 20 e (parametro di non centralità) da 0 a 5 (con incrementi di 1/2). Permettere $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

e

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Quindi stima la mediana entro 0,15 per , 0,03 per , .015 per e .007 per . $g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

La stima è stata effettuata calcolando i valori di e per ogni valore di da 1 a 20 e poi a parte il montaggio e a . Ho esaminato trame di e per determinare una forma funzionale appropriato per questi attacchi. $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Puoi fare di meglio concentrandoti sugli intervalli di questi parametri di tuo interesse. In particolare, se non sei interessato a valori molto piccoli di potresti facilmente migliorare queste stime, probabilmente entro 0,005 in modo coerente. $\nu$

Ecco i grafici della mediana contro per , il caso più difficile e i residui negativi (mediana reale meno valore approssimativo) rispetto a : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

T mediana non centrale, delta da 0 a 5, nu = 1

Residui mediani t non centrali, delta da 0 a 5, nu = 1

I residui sono veramente piccoli rispetto alle mediane.

A proposito, per tutti tranne che per i più piccoli gradi di libertà la mediana è vicina al parametro di non centralità. Ecco un grafico della mediana, per da 0 a 5 e (trattato come un parametro reale) da 1 a 20. $\delta$ $\nu$

T mediana non centrale contro nu e delta (in pseudo 3D)

Per molti scopi l'uso di per stimare la mediana potrebbe essere abbastanza buono. Ecco un diagramma dell'errore (relativo a ) fatto assumendo che la mediana sia uguale a (per da 2 a 20). $\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Mediana - delta) / delta contro delta e nu

— whuber
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+1, fantastico. Come ti è venuta in mente la forma funzionale per ?

g

$g$

— mpiktas,

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@mpiktas Una combinazione di guardare le formule per il CDF e tracciare le mediane contro . L'esponenziale, con due parametri, si adatta effettivamente a un polinomio quadratico (con tre parametri).

ν

$\nu$

— whuber

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Se sei interessato a (gradi di libertà) ν> 2, la seguente espressione asintotica [derivata da un'approssimazione interpolativa allo studente non-centrale quantile, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] è sufficientemente preciso per molti scopi:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Con ν> 2, l'entità massima del bias dell'espressione precedente rispetto alla mediana student-t non centrale è di circa il 2% e diminuisce rapidamente con l'aumentare di ν. Il diagramma di contorno mostra il bias dell'approssimazione asintotica rispetto alla mediana student-t non centrale:

— David Bartley
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