Perché una

sfondo

Uno dei punti deboli più comunemente usati prima della varianza è la gamma inversa con i parametri (Gelman 2006) .$\alpha =0.001, \beta=0.001$

Tuttavia, questa distribuzione ha un IC al 90% di circa .$[3\times10^{19},\infty]$

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

Da ciò, interpreto che l' dà una bassa probabilità che la varianza sia molto alta e la bassissima probabilità che la varianza sia inferiore a 1 P ( σ < 1 | α = 0,001 , β = 0,001 ) = 0,006 .$IG(0.001, 0.001)$$P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

Domanda

Mi sto perdendo qualcosa o è in realtà un precedente informativo?

aggiornamento per chiarire, il motivo per cui stavo prendendo in considerazione questo 'informativo' è perché afferma fortemente che la varianza è enorme e ben oltre la portata di quasi ogni varianza mai misurata.

follow-up una meta-analisi di un gran numero di stime di varianza fornirebbe un precedente più ragionevole?

Riferimento

Gelman 2006. Distribuzioni precedenti per parametri di varianza in modelli gerarchici . Analisi bayesiana 1 (3): 515-533

Usando la distribuzione gamma inversa, otteniamo:

Si può vedere facilmente che se e α → 0 la gamma inversa si avvicinerà al Jeffreys precedente. Questa distribuzione è chiamata "non informativa" perché è un'approssimazione adeguata al precedente Jeffreys$\beta \rightarrow 0$$\alpha \rightarrow 0$

Il che non è informativo per i parametri di scala, vedi ad esempio qui a pagina 18 , perché questo precedente è l'unico che rimane invariante sotto un cambio di scala (si noti che l'approssimazione non è invariante). Questo ha un integrale indefinito di che mostra che non è corretto se l'intervallo di σ 2 include 0 o ∞ . Ma questi casi sono solo problemi di matematica, non nel mondo reale. Non osservare mai il valore infinito per la varianza e se la varianza osservata è zero, si hanno dati perfetti !. Perché puoi impostare un limite inferiore uguale a L > 0 e un limite superiore uguale a $\log(\sigma^2)$$\sigma^2$$0$$\infty$$L>0$ e la tua distribuzione è corretta.$U<\infty$

Mentre può sembrare strano che questo sia "non informativo" in quanto preferisce una piccola varianza rispetto a quelli grandi, ma questo è solo su una scala. È possibile mostrare che il ha una distribuzione uniforme impropria. Quindi questo precedente non favorisce nessuna scala rispetto a nessun altra$\log(\sigma^2)$

Sebbene non sia direttamente correlato alla tua domanda, suggerirei una "migliore" distribuzione non informativa scegliendo i limiti superiore e inferiore e U nei Jeffreys precedenti piuttosto che α e β . Di solito i limiti possono essere impostati abbastanza facilmente con un po 'di pensiero su cosa significhi σ 2 nel mondo reale. Se si trattava dell'errore in una sorta di quantità fisica - L non può essere più piccola della dimensione di un atomo o della dimensione più piccola che puoi osservare nell'esperimento. Ulteriore $L$$U$$\alpha$$\beta$$\sigma^2$$L$$U$non potrebbe essere più grande della terra (o del sole se volessi essere davvero conservatore). In questo modo conservate le proprietà della vostra invarianza, ed è molto più facile prima del campionamento da: prendere , e quindi il valore simulato come σ 2 ( b ) = exp ( q ( b ) ) .$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

È abbastanza vicino all'appartamento. La sua mediana è 1,9 E298, quasi il più grande numero uno può rappresentare in aritmetica galleggiante a doppia precisione. Come fai notare, la probabilità che assegna a qualsiasi intervallo che non è davvero enorme è davvero piccola. È difficile ottenere meno informazioni di così!