Quale distribuzione ha l'entropia massima per una deviazione assoluta media nota?

Stavo leggendo la discussione su Hacker News sull'uso della deviazione standard rispetto ad altre metriche come la deviazione assoluta media. Quindi, se dovessimo seguire il principio della massima entropia, con quale tipo di distribuzione utilizzeremmo se conoscessimo solo la media della distribuzione e la deviazione assoluta media?

Oppure ha più senso usare la mediana e la media deviazione assoluta dalla mediana?

Ho trovato un Principio sull'entropia massima con misure di deviazione generali di Grechuk, Molyboha e Zabarankin che sembra avere le informazioni di cui sono curioso, ma mi ci vuole un po 'di tempo per decifrarle.

Questi saggi signori, Kotz, S., Kozubowski, TJ e Podgorski, K. (2001). La distribuzione e generalizzazioni di Laplace: una rivisitazione con applicazioni in comunicazione, economia, ingegneria e finanza (n. 183). Springer.

sfidaci con un esercizio:

$f(x)$$g(x)$

$$E_g(|X-c_1|)=\int g(x)|x-c_1|dx=c_2 =\int f(x)|x-c_1|dx =E_f(|X-c_1|)\qquad [1]$$

$$0\le D_{KL}(g||f) = \int g(x)\ln\left(\frac {g(x)}{f(x)}\right)dx = \int g(x)\ln g(x)dx -\int g(x)\ln f(x)dx \qquad [2]$$

$g$$-h(g)$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = \int g(x)\ln\left[\frac{1}{2c_2}\exp\left\{-\frac 1{c_2} |x-c_1|\right\}\right]dx$$ $$=\ln\left[\frac{1}{2c_2}\right]\int g(x)dx- \frac 1{c_2}\int g(x)|x-c_1|dx$$ $[1]$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = -\ln\left[2c_2\right] - \frac 1{c_2}\int f(x)|x-c_1|dx = -(\ln\left[2c_2\right] +1)$$ $-h(f)$

$[2]$

$$0\le D(g||f) = -h(g) - (-h(f)) \Rightarrow h(g) \le h(f)$$ $g$