Esempi di distribuzioni reali con asimmetria negativa

Ispirato da " esempi reali di distribuzioni comuni ", mi chiedo quali esempi pedagogici le persone usano per dimostrare l'asimmetria negativa? Ci sono molti esempi "canonici" di distribuzioni simmetriche o normali usate nell'insegnamento - anche se quelli come altezza e peso non sopravvivono a un attento esame biologico! La pressione sanguigna potrebbe essere più vicina alla normalità. Mi piacciono gli errori di misurazione astronomica - di interesse storico, intuitivamente non hanno più probabilità di trovarsi in una direzione rispetto a un'altra, con piccoli errori più probabili che grandi.

Esempi pedagogici comuni per l'asimmetria positiva includono i redditi delle persone; chilometraggio su auto usate in vendita; tempi di reazione in un esperimento di psicologia; prezzi delle case; numero di richieste di risarcimento infortuni da parte di un cliente assicurativo; numero di bambini in una famiglia. La loro ragionevolezza fisica spesso deriva dall'essere delimitata al di sotto (di solito da zero), con valori bassi plausibili, anche comuni, ma molto noti (a volte ordini di grandezza superiori) che si verificano.

Per inclinazione negativa, trovo più difficile fornire esempi chiari e chiari che un pubblico più giovane (liceali) può comprendere intuitivamente, forse perché un minor numero di distribuzioni nella vita reale ha un chiaro limite superiore. Un esempio di cattivo gusto che mi è stato insegnato a scuola è stato il "numero di dita". La maggior parte della gente ne ha dieci, ma alcuni ne perdono uno o più in incidenti. Il risultato è stato "il 99% delle persone ha un numero di dita superiore alla media"! La polidattilia complica il problema, poiché dieci non è un limite superiore rigoroso; poiché sia ​​le dita mancanti che quelle extra sono eventi rari, potrebbe non essere chiaro agli studenti quale effetto prevale.

Di solito uso una distribuzione binomiale con alto . Ma gli studenti spesso trovano che "il numero di componenti soddisfacenti in un batch è distorto negativamente" meno intuitivo del fatto complementare che "il numero di componenti difettosi in un batch è distorto positivamente". (Il libro di testo è industrialmente a tema; preferisco uova incrinate e intatte in una scatola di dodici.) Forse gli studenti ritengono che il "successo" dovrebbe essere raro.$p$

Un'altra opzione è quella di sottolineare che, se è inclinato positivamente quindi è negativamente distorta, ma per collocare questo in un contesto pratico ( "negativi i prezzi delle case sono negativamente distorta") sembra destinata al fallimento pedagogico. Mentre ci sono vantaggi nell'insegnare gli effetti delle trasformazioni dei dati, sembra saggio dare prima un esempio concreto. Preferirei uno che non sembri artificiale, in cui l'inclinazione negativa è piuttosto inequivocabile e per la quale l'esperienza di vita degli studenti dovrebbe dare loro una consapevolezza della forma della distribuzione.- $X$$-X$

Nel Regno Unito, il prezzo di un libro. Esiste un "prezzo al dettaglio consigliato" che sarà generalmente il prezzo modale e praticamente da nessuna parte dovresti pagare di più. Ma alcuni negozi scontano, e alcuni lo sconto pesantemente.

Inoltre, l'età alla pensione. La maggior parte delle persone va in pensione tra i 65 e i 68 anni, quando inizia la pensione statale, pochissime persone lavorano più a lungo, ma alcune vanno in pensione tra i 50 e i 60 anni.

Inoltre, il numero di GCSE che le persone ottengono. La maggior parte dei bambini viene inserita per 8-10 e quindi ottiene 8-10. Un piccolo numero fa di più. Alcuni dei bambini non superano tutti gli esami, quindi c'è un costante aumento da 0 a 7.

Nick Cox ha accuratamente commentato che "l'età alla morte è negativamente distorta nei paesi sviluppati", che ho pensato fosse un ottimo esempio.

Ho trovato che le figure più convenienti su cui potevo mettere le mani provenivano dall'Australian Bureau of Statistics ( in particolare, ho usato questo foglio Excel ), dal momento che i loro bidoni dell'età sono arrivati ​​a 100 anni e il maschio australiano più anziano era 111 , quindi io mi sono sentito a mio agio nel tagliare l'ultimo bidone a 110 anni. Altre agenzie statistiche nazionali spesso sembravano fermarsi a 95, il che rendeva scomodo il cestino finale. L'istogramma risultante mostra una chiara inclinazione negativa, così come alcune altre caratteristiche interessanti come un piccolo picco nel tasso di mortalità tra i bambini piccoli, che sarebbe adatto alla discussione e all'interpretazione in classe.

Segue il codice R con dati non elaborati, il HistogramTools pacchetto si è rivelato molto utile per la stampa basata su dati aggregati! Grazie a questa domanda StackOverflow per segnalarla.

library(HistogramTools)

deathCounts <- c(565, 116, 69, 78, 319, 501, 633, 655, 848, 1226, 1633, 2459, 3375, 4669, 6152, 7436, 9526, 12619, 12455, 7113, 2104, 241)
ageBreaks <- c(0, 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 110)

myhist <- PreBinnedHistogram(
    breaks = ageBreaks,
    counts = deathCounts,
    xname = "Age at Death of Australian Males, 2012")
plot(myhist)

Ecco i risultati per i quaranta atleti che hanno completato con successo un salto legale nel turno di qualificazione del salto in lungo maschile olimpico del 2012, presentato in un diagramma di densità del kernel con la trama del tappeto sottostante.

Sembra essere molto più facile essere un metro dietro il gruppo principale di concorrenti piuttosto che essere un metro avanti, il che spiegherebbe l'asimmetria negativa.

Ho il sospetto che parte del raggruppamento nella parte alta sia dovuto alla qualificazione degli atleti (che ha richiesto una top dodici o un risultato di 8,10 metri o più) piuttosto che raggiungere la distanza più lunga possibile. Il fatto che i primi due risultati siano stati 8,11 metri, appena sopra il punteggio automatico di qualificazione, è fortemente indicativo, così come il modo in cui i salti vincitori della medaglia in finale sono stati entrambi più lunghi e più distribuiti a 8,31, 8,16 e 8,12 metri. I risultati in finale hanno avuto una leggera, non significativa, inclinazione negativa.

Per confronto, i risultati per il Heptathlon olimpico di Seul 1988 sono disponibili nel heptathlonset di dati nel pacchetto R HSAUR. In quella competizione non c'è stato il turno di qualificazione ma ogni evento ha contribuito con punti alla classifica finale; le concorrenti femminili hanno mostrato un'inclinazione negativa pronunciata nei risultati del salto in alto e un'inclinazione piuttosto negativa nel salto in lungo. È interessante notare che questo non è stato replicato negli eventi di lancio (tiro e giavellotto) anche se sono anche eventi in cui un numero più elevato corrisponde a un risultato migliore. Anche i punteggi dei punti finali sono stati leggermente distorti.

Dati e codice

require(moments)
require(ggplot2)

sourceAddress <- "http://www.olympic.org/olympic-results/london-2012/athletics/long-jump-m"

longjump.df <- read.csv(header=TRUE, sep=",", text="
rank,name,country,distance
1,Mauro Vinicius DA SILVA,BRA,8.11 
2,Marquise GOODWIN,USA,8.11
3,Aleksandr MENKOV,RUS,8.09
4,Greg RUTHERFORD,GBR,8.08
5,Christopher TOMLINSON,GBR,8.06
6,Michel TORNEUS,SWE,8.03
7,Godfrey Khotso MOKOENA,RSA,8.02
8,Will CLAYE,USA,7.99
9,Mitchell WATT,AUS,7.99,
10,Tyrone SMITH,BER,7.97,
11,Henry FRAYNE,AUS,7.95,
12,Sebastian BAYER,GER,7.92,
13,Christian REIF,GER,7.92,
14,Eusebio CACERES,ESP,7.92,
15,Aleksandr PETROV,RUS,7.89,
16,Sergey MORGUNOV,RUS,7.87,
17,Mohammad ARZANDEH,IRI,7.84,
18,Ignisious GAISAH,GHA,7.79,
19,Damar FORBES,JAM,7.79,
20,Jinzhe LI,CHN,7.77,
21,Raymond HIGGS,BAH,7.76,
22,Alyn CAMARA,GER,7.72,
23,Salim SDIRI,FRA,7.71,
24,Ndiss Kaba BADJI,SEN,7.66,
25,Arsen SARGSYAN,ARM,7.62,
26,Povilas MYKOLAITIS,LTU,7.61,
27,Stanley GBAGBEKE,NGR,7.59,
28,Marcos CHUVA,POR,7.55,
29,Louis TSATOUMAS,GRE,7.53,
30,Stepan WAGNER,CZE,7.50,
31,Viktor KUZNYETSOV,UKR,7.50,
32,Luis RIVERA,MEX,7.42,
33,Ching-Hsuan LIN,TPE,7.38,
33,Supanara SUKHASVASTI N A,THA,7.38,
35,Boleslav SKHIRTLADZE,GEO,7.26,
36,Xiaoyi ZHANG,CHN,7.25,
37,Mohamed Fathalla DIFALLAH,EGY,7.08,
38,Roman NOVOTNY,CZE,6.96,
39,George KITCHENS,USA,6.84,
40,Vardan PAHLEVANYAN,ARM,6.55,
NA,Luis MELIZ,ESP,NA,
NA,Irving SALADINO,PAN,NA")

roundedSkew <- signif(skewness(longjump.df$distance, na.rm=TRUE), 3)

ggplot(longjump.df, aes(x=distance)) + 
    xlab("Distance in metres") +
    ggtitle("London 2012 Men's Long Jump qualifying round results") +
    geom_rug(size=0.8) + 
    geom_density(fill="steelblue") +
    annotate("text", x=7.375, y=0.0625, colour="white", label=paste("Source:", sourceAddress), size=3) +
    annotate("rect", xmin = 6.25, xmax = 7.25, ymin = 0.5, ymax = 1.125, fill="white") +
    annotate("text", x=6.75, y=1, colour="black", label="Best jump in up to 3 attempts") +
    annotate("text", x=6.75, y=.875, colour="black", label="42 athletes competed") +
    annotate("text", x=6.75, y=.75, colour="black", label="2 athletes had no legal jump") +
    annotate("text", x=6.75, y=.625, colour="black", label=paste("Skewness = ", roundedSkew))


# Results of the top twelve who qualified for the Final were closer to symmetric
skewness(longjump.df$distance[1:12])
# -0.1248782

# Results in the Final (some had 3 jumps, others 6) were only slightly negatively skewed
skewness(c(8.31, 8.16, 8.12, 8.11, 8.10, 8.07, 8.01, 7.93, 7.85, 7.80, 7.78, 7.70))
# -0.08578357

# Compare to Seoul 1988 Heptathlon
require(HSAUR)
skewness(heptathlon)

I punteggi dei test facili o, in alternativa, i punteggi dei test per i quali gli studenti sono particolarmente motivati, tendono a rimanere inclinati.

Di conseguenza, i punteggi SAT / ACT degli studenti che entrano nelle università ricercate (e ancora di più, i loro GPA) tendono a rimanere inclinati. Ci sono molti esempi su collegeapps.about.com, ad esempio un diagramma dell'Università di Chicago SAT / ACT e GPA è qui .

Allo stesso modo gli GPA dei laureati sono spesso inclinati a sinistra, ad esempio gli istogrammi di seguito degli GPA dei laureati bianchi e neri in un'università a scopo di lucro presa dalla figura 5 di Gramling, Tim. "In che modo cinque caratteristiche degli studenti prevedono con precisione le probabilità di laurea universitaria a scopo di lucro ." SAGE Open 3.3 (2013): 2158244013497026.

(Non è difficile trovare altri esempi simili.)

In Stochastic Frontier Analysis, e in particolare nel suo focus storicamente iniziale, la produzione, la funzione di produzione di un'azienda / unità di produzione in generale, viene definita stocasticamente come

$q$$f(\mathbf x)$$\mathbf x$$u$$w$per ragioni che l'econometrico potrebbe non conoscere, ma che può misurare attraverso questa configurazione. Si presume che questa variabile casuale segua una distribuzione semi-normale o esponenziale. Supponendo la metà normale (per un motivo), abbiamo

$\sigma_2$

$\varepsilon = u-w$

$0$$s_2$$(-\frac {\sigma_2}{\sigma_u})$$\phi$$\Phi$$\sigma_u =1, \;\; \sigma_2 = 3$

Quindi l'asimmetria negativa è, direi, la modellistica più naturale degli sforzi della stessa razza umana: deviando sempre dal suo ideale immaginato - nella maggior parte dei casi in ritardo (la parte negativa della densità), mentre in relativamente meno casi, trascendendo i suoi limiti percepiti (la parte positiva della densità). Gli studenti stessi possono essere modellati come tale funzione di produzione. È semplice mappare il disturbo simmetrico e l'errore unilaterale sugli aspetti della vita reale. Non riesco a immaginare quanto più intuitivo si possa ottenere al riguardo.

L'asimmetria negativa è comune nell'idrologia delle inondazioni. Di seguito è riportato un esempio di una curva della frequenza delle inondazioni (South Creek a Mulgoa Rd, lat -33.8783, lon 150.7683) che ho preso da "Australian Rainfall and Runoff" (ARR) la guida alla stima delle inondazioni sviluppata da Engineers, Australia.

C'è un commento in ARR:

Con un'inclinazione negativa, che è comune ai valori logaritmici delle inondazioni in Australia, la distribuzione di Pearson III ha un limite superiore. Ciò fornisce un limite superiore alle inondazioni che possono essere tratte dalla distribuzione. In alcuni casi ciò può causare problemi nella stima delle alluvioni di bassi AEP, ma spesso non provoca problemi nella pratica. [Estratto da Australian Rainfall and Runoff - Volume 1, Book IV Section 2.]

Spesso le alluvioni, in un determinato luogo, sono considerate avere un limite superiore chiamato "Probable Maximum Flood" (PMF). Esistono metodi standard per calcolare un PMF.

Le variazioni (rendimenti) dei prezzi delle attività hanno in genere un'inclinazione negativa: molti piccoli aumenti di prezzo con alcune grandi riduzioni di prezzo. L'inclinazione sembra valere per quasi tutti i tipi di attività: prezzi delle azioni, prezzi delle materie prime, ecc. L'inclinazione negativa può essere osservata nelle variazioni mensili dei prezzi, ma è molto più evidente quando si inizia a guardare le variazioni dei prezzi giornaliere o orarie. Penso che questo sarebbe un buon esempio perché puoi mostrare gli effetti della frequenza sull'inclinazione.

Maggiori dettagli: http://www.fusioninvesting.com/2010/09/what-is-skew-and-why-is-it-important/

L'età gestazionale al momento del parto (in particolare per le nascite vive) è lasciata distorta. I bambini possono nascere vivi molto presto (anche se le possibilità di sopravvivenza continua sono piccole quando troppo presto), picco tra 36-41 settimane e calo rapido. È tipico per le donne negli Stati Uniti essere indotte per 41/42 settimane, quindi di solito non vediamo molte consegne dopo quel punto.

Nella pesca ci sono spesso esempi di inclinazione negativa a causa di requisiti normativi. Ad esempio la distribuzione per lunghezza del pesce rilasciato nella pesca ricreativa; perché a volte esiste una lunghezza minima che un pesce deve avere per poter essere trattenuto tutti i pesci sotto il limite vengono scartati. Ma poiché le persone pescano dove tende ad essere un pesce di lunghezza legale, ci sono inclinazioni e modi negativi verso il limite legale superiore. La lunghezza legale non rappresenta tuttavia un limite. A causa dei limiti di bag (o dei limiti sul numero di pesci che possono essere riportati al molo), le persone scartano ancora i pesci di taglia legale quando ne hanno catturati di più grandi.

ad esempio, Sauls, B. 2012. Un riassunto dei dati sulla distribuzione dimensionale e le condizioni di rilascio dei dentici Red Snapper dai sondaggi sulla pesca ricreativa nel Golfo del Messico. SEDAR31-DW11. SEDAR, North Charleston, Carolina del Sud. 29 pagg.

Alcuni grandi suggerimenti sono stati fatti su questa discussione. Sul tema della mortalità legata all'età, i tassi di guasto della macchina sono spesso una funzione dell'età della macchina e rientrerebbero in questa classe di distribuzioni. Oltre ai fattori finanziari già rilevati, le funzioni e le distribuzioni delle perdite finanziarie in genere assomigliano a queste forme, in particolare nel caso di perdite di valore estremo, ad esempio, come indicato nelle stime BRI III (Bank of International Settlement) del deficit atteso (ES), o nella BRI II il valore a rischio (VAR) come input per i requisiti regolamentari per le allocazioni di riserve di capitale.

L'età della pensione negli Stati Uniti è negativamente distorta. La maggior parte dei pensionati è più anziana e pochi si ritirano relativamente giovani.

Nella teoria delle matrici casuali, la distribuzione di Tracy Widom è distorta. Questa è la distribuzione del più grande autovalore di una matrice casuale. Per simmetria, il più piccolo autovalore ha una distribuzione Tracy Widom negativa ed è quindi inclinato a sinistra.

Ciò è approssimativamente dovuto al fatto che gli autovalori casuali sono simili alle particelle cariche che si respingono a vicenda, e quindi il più grande autovalore tende a essere allontanato dal resto. Ecco una foto esagerata (presa da qui ):