Esempio di CLT quando non esistono momenti

Considera $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Devo dimostrare che anche se questo ha infiniti momenti,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Ho provato a mostrarlo usando il Teorema di continuità di Levy, cioè ho provato a mostrare che la funzione caratteristica del lato sinistro converge con la funzione caratteristica della normale standard. Tuttavia, questo sembrava impossibile da mostrare.

Un suggerimento fornito per questo problema era quello di troncare ogni $X_i$ , ovvero lasciare $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ e usare la condizione di Lindeberg per mostrare che $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$ .

Tuttavia, non sono stato in grado di dimostrare che la condizione di Lyapunov è soddisfatta. Questo principalmente perché $Y_{ni}$ non si comporta come vorrei. Vorrei che $Y_{ni}$ prendesse solo i valori -1 e 1, tuttavia, nel modo in cui è costruito, può assumere i valori $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
fonte

Se stai troncando su

n

$n$ , controlla attentamente l'ultimo paragrafo per i valori che la variabile troncata può assumere. Ad ogni modo, prova invece a troncare a

1

$1$ , usa Borel-Cantelli e poi Slutsky per ottenere il risultato. Dovresti essere in grado di usare Lindeberg o Lyapunov sul pezzo troncato (anche se in realtà non l'ho verificato).

— cardinale

Mi dispiace per quello. Modificato in momenti "infiniti"

— Greenparker

@cardinal Ho esaminato i possibili valori che può assumere di nuovo e ho aggiunto una parola al termine del log. Altrimenti, i valori sembrano giusti. Se troncerò a 1, i valori che desidero per e potrò applicare la condizione di Lindeberg per ottenere la convergenza con il normale. Tuttavia, non vedo come questo implicherà la convergenza alla normalità per

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

Che cos'è " "? Non hai descritto un contesto in cui vi sono esempi o più istanze di ciascun , per cui - dato quanto affermato nella domanda - sull'unica lettura possibile di questa notazione è che si riferisce alla media di , che è sempre infinito ed è un numero, non una distribuzione. Pertanto, dobbiamo immaginare che stai contemplando i campioni di , ma devi dircelo e in particolare devi stabilire quali sono le dimensioni del campione.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Ecco una risposta basata sul commento di @ cardinale:

Lascia che lo spazio campione sia quello dei percorsi dei processi stocastici e , dove lasciamo . La condizione di Lindeberg (conforme alla notazione di Wikipedia ) è soddisfatta, per: per qualsiasi as ogni volta che $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Abbiamo anche che di Borel-Cantelli poiché modo che . Detto diversamente, e differiscono solo finitamente spesso quasi sicuramente. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Definire ed equivalentemente per . Scegli un percorso di esempio di tale che solo per molti . Indicizza questi termini di . Richiedi anche da questo percorso che siano limitati. Per tale percorso, dove . Inoltre, per abbastanza grande , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Usando il risultato di Borel-Cantelli insieme al fatto che è quasi sicuramente finito, vediamo che la probabilità che un percorso di campionamento obbedisca ai nostri requisiti è una. In altre parole, i termini diversi vanno a zero quasi sicuramente. Abbiamo quindi dal teorema di Slutsky che per abbastanza grande , dove . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— Ekvall
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