Statistiche dell'ordine approssimativo per normali variabili casuali

Esistono formule ben note per le statistiche degli ordini di determinate distribuzioni casuali? Soprattutto le statistiche del primo e dell'ultimo ordine di una normale variabile casuale, ma sarebbe apprezzata anche una risposta più generale.

Modificare: per chiarire, sto cercando formule approssimative che possono essere valutate più o meno esplicitamente, non l'esatta espressione integrale.

Ad esempio, ho visto le seguenti due approssimazioni per la statistica del primo ordine (cioè il minimo) di un normale camper:

$e_{1:n} \geq \mu - \frac{n-1}{\sqrt{2n-1}}\sigma$

e

$e_{1:n} \approx \mu + \Phi^{-1} \left( \frac{1}{n+1} \right)\sigma$

Il primo di questi, per $n=200$ , dà circa $e_{1:200} \geq \mu - 10\sigma$ che sembra un limite selvaggio.

Il secondo dà $e_{1:200} \approx \mu - 2.58\sigma$ mentre un rapido Monte Carlo dà $e_{1:200} \approx \mu - 2.75\sigma$ , quindi non è una cattiva approssimazione ma neanche eccezionale, e soprattutto non ho alcuna intuizione su da dove viene.

Qualsiasi aiuto?

Il riferimento classico è Royston (1982) [1] che ha algoritmi che vanno oltre le formule esplicite. Cita anche una nota formula di Blom (1958): conα=0,375. Questa formula fornisce un moltiplicatore di -2,73 pern=200,r=$E(r:n) \approx \mu + \Phi^{-1}(\frac{r-\alpha}{n-2\alpha+1})\sigma$$\alpha=0.375$$n=200, r=1$ .

[1]: Algorithm AS 177: Statistiche ordine normale attese (esatte e approssimative) JP Royston. Giornale della Royal Statistical Society. Serie C (statistiche applicate) Vol. 31, n. 2 (1982), pagg. 161-165

$$\newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}}\newcommand{\Beta}{\mathrm{Beta}}\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$$ La distribuzione della statistica del primo ordine di qualsiasi variabile casuale continua con un PDF è data dalla distribuzione composta "beta-F". Il modo intuitivo pensare a questa distribuzione, è considerare la statistica ordine esimo in un campione di . Ora, affinché il valore della statistica del suo ordine di una variabile casuale X sia uguale a x abbiamo bisogno di 3 condizioni:$N$$X$$x$

1. valori sotto x , questo ha probabilità F X ( x ) per ogni osservazione, dove F X ( x ) = P r ( X < x ) è il CDF della variabile casuale X.$i-1$$x$$F_{X}(x)$$F_X(x)=\Pr(X<x)$
2. valori sopra x , questo ha probabilità 1 - F X ( x $N-i$$x$$1-F_{X}(x)$
3. 1 valore all'interno di un intervallo infinitesimale contenente , questo ha probabilità f X ( x ) d x dove f $x$$f_{X}(x)dx$ è il PDF della variabile casuale$f_{X}(x)dx=dF_{X}(x)=\Pr(x<X<x+dx)$$X$

Ci sono modi per fare questa scelta, quindi abbiamo:${N \choose 1}{N-1 \choose i-1}$

$$f_{i}(x_{i})=\frac{N!}{(i-1)!(N-i)!}f_{X}(x_{i})\left[1-F_{X}(x_{i})\right]^{N-i}\left[F_{X}(x_{i})\right]^{i-1}dx$$

EDIT nel mio post originale, ho fatto un tentativo molto scarso di andare oltre da questo punto, e i commenti qui sotto riflettono questo. Ho cercato di correggere questo di seguito

Se prendiamo il valore medio di questo pdf otteniamo:

$$E(X_{i})=\int_{-\infty}^{\infty} x_{i}f_{i}(x_{i})dx_{i}$$

E in questo integrale, facciamo la seguente modifica della variabile (prendendo il suggerimento di @ henry), e l'integrale diventa:$p_{i}=F_{X}(x_{i})$

$$E(X_{i})=\int_{0}^{1} F_{X}^{-1}(p_{i})\Beta(p_{i}|i,N-i+1)dp_{i}=E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]$$

Quindi questo è il valore atteso del CDF inverso, che può essere ben approssimato usando il metodo delta per dare:

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\right]=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$$

Per fare una migliore approssimazione, possiamo espanderci al 2 ° ordine (differenziazione indicante il primo) e notando che la seconda derivata di un inverso è:

$$\frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}}F_{X}^{-1}(a)=-\frac{F_{X}^{''}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[F_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}=-\frac{f_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[f_{X}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}$$

Sia . Poi abbiamo:$\nu_{i}=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$

=νi-(

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[\nu_{i}\right]-\frac{\Var_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[p_{i}\right]}{2}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$ $$=\nu_{i}-\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$

Ora, specializzandoci nel caso normale, abbiamo F

$$f_{X}(x)=\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\rightarrow f_{X}^{'}(x)=-\frac{x-\mu}{\sigma^{3}}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=-\frac{x-\mu}{\sigma^{2}}f_{X}(x)$$ $$F_{X}(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\implies F_{X}^{-1}(x)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(x)$$

Si noti che E l'aspettativa diventa approssimativamente:$f_{X}(\nu_{i})=\frac{1}{\sigma}\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]$

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)}{\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}$$

E infine:

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\left[1+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}\right]$$

Anche se come ha notato @whuber, questo non sarà accurato nelle code. In effetti penso che potrebbe essere peggio, a causa dell'asimmetria di una beta con parametri diversi

La risposta di Aniko si basa sulla formula ben nota di Blom che prevede una scelta di $\alpha = 3/8$. Si scopre che questa formula è essa stessa una semplice approssimazione di una risposta esatta dovuta a G. Elfving (1947), La distribuzione asintotica del range nei campioni di una popolazione normale , Biometrika, Vol. 34, pagg. 111-119. La formula di Elfving è mirata al minimo e al massimo del campione, per il quale è la scelta corretta di alfa$\pi/8$. La formula di Blom risulta quando ci approssimiamo$\pi$ di $3$.

Usando la formula Elfving anziché l'approssimazione di Blom, otteniamo un moltiplicatore di -2.744165. Questo numero è più vicino alla risposta esatta di Erik P. (-2.746) e all'approssimazione di Monte Carlo (-2,75) rispetto all'approssimazione di Blom (-2,73), pur essendo più facile da implementare rispetto alla formula esatta.

Depending on what you want to do, this answer may or may not help - I got the following exact formula from Maple's Statistics package.

with(Statistics):
X := OrderStatistic(Normal(0, 1), 1, n):
m := Mean(X):
m;

$$\int _{-\infty }^{\infty }\!1/2\,{\frac {{\it \_t0}\,n!\,\sqrt {2}{ {\rm e}^{-1/2\,{{\it \_t0}}^{2}}} \left( 1/2-1/2\, {{\rm erf}\left(1/2\,{\it \_t0}\,\sqrt {2}\right)} \right) ^{-1+n}}{ \left( -1+n \right) !\,\sqrt {\pi }}}{d{\it \_t0}}$$

By itself this isn't very useful (and it could probably be derived fairly easily by hand, since it's the minimum of $n$ random variables), but it does allow for quick and very accurate approximation for given values of $n$ - much more accurate than Monte Carlo:

evalf(eval(m, n = 200));
evalf[25](eval(m, n = 200));

gives -2.746042447 and -2.746042447451154492412344, respectively.

(Full disclosure - I maintain this package.)