Perché la distribuzione geometrica e la distribuzione ipergeometrica sono chiamate come tali?

Perché la distribuzione geometrica e la distribuzione ipergeometrica sono chiamate rispettivamente "geometrica" e "ipergoemetric"?

È perché i loro pmfs assumono una forma speciale? Grazie!

distributions terminology history

— Tim
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Sì, i termini si riferiscono alle funzioni di massa di probabilità (pmfs).

2.500 anni fa, Euclide (nei libri VIII e IV dei suoi elementi ) ha studiato sequenze di lunghezze aventi proporzioni comuni. . Ad un certo punto tali sequenze sono diventate note come "progressioni geometriche" (anche se il termine "geometrico" potrebbe per una ragione simile essere stato altrettanto facilmente applicato a molte altre serie regolari, comprese quelle ora chiamate "aritmetica").

La funzione di massa di probabilità di una distribuzione geometrica con il parametro forma una progressione geometrica $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, ..., p (1 - p)^{n}, ... .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Qui la proporzione comune è . $1-p$

Diverse centinaia di anni fa, una vasta generalizzazione di tali progressioni divenne importante negli studi sulle curve ellittiche, sulle equazioni differenziali e su molte altre aree della matematica profondamente interconnesse. La generalizzazione suppone che le proporzioni relative tra termini successivi nelle posizioni e possano variare, ma limita la natura di quella variazione: le proporzioni devono essere una data funzione razionale di . Poiché questi vanno "oltre" o "oltre" la progressione geometrica (per cui la funzione razionale è costante), sono stati definiti ipergeometrici dall'antico prefisso greco $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ( "Iper").

La densità di probabilità di una serie ipergeometrica con parametri ed ha la forma $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

per adatto . Il rapporto delle probabilità successive è quindi uguale $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

una funzione razionale di di grado . Questo pone le probabilità in una (particolare tipo di) progressione ipergeometrica. $k$ $(2,2)$

— whuber
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Grazie! Esistono altre distribuzioni i cui pmfs formano anche progressioni geometriche o ipergeometriche?

— Tim

Se un pmf forma una progressione geometrica, allora deve essere una distribuzione geometrica spostata, riscalata e / o troncata. Se forma una progressione ipergeometrica di grado (2,2), vale una conclusione simile. Esistono distribuzioni associate a qualsiasi serie che si somma a un valore finito, e quindi la distribuzione ipergeometrica si generalizza a molte altre distribuzioni (usando diverse funzioni razionali). Molti di loro non hanno nomi. Un'eccezione è la distribuzione binomiale negativa il cui pmf è ipergeometrico di grado (1,1).

— whuber

Grazie! Il pmf della distribuzione di Poisson forma alcune serie / progressi speciali? Data una distribuzione di Poission con il parametro rate

, quindi

. Il pmf forma alcune serie speciali o progressi?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— Tim

Sì, questa è una funzione razionale di grado (0,1), quindi si adatta alla definizione generale di una progressione ipergeometrica.

— whuber

$\sqrt{A B}$

— veryshuai
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La tua fonte ricorre al tipo di speculazione a cui mi riferivo (in qualche modo ellittico) all'inizio della mia risposta. Internet è pieno di persone che fanno la stessa affermazione, ma poiché è altrettanto facile geometricamente trovare una media aritmetica come media geometrica, alla fine questa proprietà (di avere una costruzione "geometrica") non sembra spiegare nulla. Sarebbe molto interessante trovare un'autorità in grado di rintracciare gli attuali usi storici di "geometrica" e "aritmetica" per aiutarci a capire come sono sorti davvero questi termini.

— whuber