La media e la varianza esistono sempre per le distribuzioni esponenziali della famiglia?

Supponiamo che una variabile casuale scalare appartenga a una famiglia esponenziale di parametri vettoriali con pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

dove è il vettore dei parametri e è la statistica sufficiente congiunta. ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$

Si può mostrare che la media e la varianza per ogni esistono. Tuttavia, esistono sempre anche la media e la varianza per (cioè e )? In caso contrario, esiste un esempio di distribuzione esponenziale della famiglia di questa forma la cui media e variabile non esistono? $T_i(x)$ $X$ $E(X)$ $Var(X)$

Grazie.

— Wei
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Prendendo , , e dà fornito , producendo $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

figura

I grafici di sono mostrati per (rispettivamente in blu, rosso e oro). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Chiaramente i momenti assoluti dei pesi o superiore non esistono, perché l'integrando , che è asintoticamente proporzionale a , produrrà un integrale convergente ai limiti se e solo se . In particolare, quando questa distribuzione non ha nemmeno una media (e certamente non una varianza). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
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Non capisco la condizione . Intendi ? Quando , non è definito e è negativo e non può essere un pdf Per favore fatemi sapere cosa mi sono perso. Grazie.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

Chiedo scusa, perché nel calcolo di stato omesso un segno meno . L'ho sostituito nelle formule. Intendo davvero .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Grazie per l'esempio Concordo sui momenti di. E i momenti di stessa? Ad esempio, quando nell'esempio sopra, esiste ?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Poiché l'integrale di Lebesgue è definito in termini di parti positive e negative dell'integrando, i momenti di esistono se e solo se i momenti diesistere.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: esiste solo se . Senza questa restrizione, l'aspettativa non è definita in modo univoco per alcuni CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis,