Come può una distribuzione avere media e varianza infinite?

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Sarebbe apprezzato se si potessero dare i seguenti esempi:

Una distribuzione con media infinita e varianza infinita.
Una distribuzione con media infinita e varianza finita.
Una distribuzione con media finita e varianza infinita.
Una distribuzione con media finita e varianza finita.

Viene da me vedere questi termini sconosciuti (media infinita, varianza infinita) usati in un articolo che sto leggendo, googling e leggendo un thread sul forum / sito Web di Wilmott , e non trovandolo una spiegazione sufficientemente chiara. Inoltre non ho trovato alcuna spiegazione in nessuno dei miei libri di testo.

distributions variance mean

— user1205901 - Ripristina Monica
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1

il caso 2 nell'elenco precedente è impossibile.

— kjetil b halvorsen,

Rilevante: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

1

Possibile duplicato di Qual è la differenza tra varianza finita e infinita

— kjetil b halvorsen

2

Chiedendo questi quattro esempi specifici, penso che questa sia una domanda distinta e non debba essere chiusa come duplicata, sebbene l'altra domanda sia certamente pertinente e utile.

— Silverfish

1

Dei 4 esempi solo 1, 3 e 4 sono effettivamente possibili e semplici esempi possono essere dati per 1 e 4. Cauchy è un esempio di 1 e il gaussiano è un esempio di 4. È impossibile che la varianza sia ben definita se il .mean non esiste. Quindi 2 non è possibile. Un esempio di 3 sarebbe interessante da costruire.

— Michael R. Chernick,

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La media e la varianza sono definite in termini di integrali. Ciò che significa che la media o la varianza è infinita è un'affermazione sul comportamento limitante per quegli integrali

Ad esempio, la media è (considerando questo, diciamo come integrale di Stieltjes); per una densità continua questo sarebbe (ora come integrale di Riemann, diciamo). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Questo può accadere, ad esempio, se la coda è "abbastanza pesante". Considera i seguenti esempi per quattro casi di media e varianza finita / infinita:

Una distribuzione con media infinita e varianza infinita.

Esempi: distribuzione di Pareto con , una distribuzione zeta (2). $\alpha= 1$
Una distribuzione con media infinita e varianza finita.

Non possibile.
Una distribuzione con media finita e varianza infinita.

Esempi: distribuzione . Pareto con . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Una distribuzione con media finita e varianza finita.

Esempi: qualsiasi normale. Qualsiasi uniforme (in effetti, ogni variabile limitata ha tutti i momenti). . $t_3$

Puoi anche avere una distribuzione in cui l'integrale non è definito ma non necessariamente supera tutti i limiti finiti nel limite.

Queste note di Charles Geyer parlano di come calcolare integrali rilevanti in termini semplici. Sembra che abbia a che fare con integrali di Riemann lì, che copre solo il caso continuo, ma definizioni più generali di integrale (Stieltjes per esempio) copriranno tutti i casi che probabilmente richiederai [L'integrazione di Lebesgue è la forma di integrazione utilizzata nella teoria delle misure (che è alla base della probabilità), ma il punto qui funziona perfettamente con metodi di base più]. Copre anche (Sec 2.5, p13-14) perché "2." non è possibile (la media esiste se esiste la varianza).

— Glen_b - Ripristina Monica
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7

+1 Il motivo per cui (2) è impossibile è banale: la varianza è definita in termini di media. Leggermente più profondo è il fatto che quando il secondo momento di è finito, allora la media deve essere finita. Perché se la media è infinita, allora a fortiori il secondo momento deve essere infinito perché il secondo momento sta ponderando i valori di non solo per probabilità ma anche per stesso ( ). Quei pesi crescono senza limiti, facendo sì che il secondo momento alla fine superi il valore assoluto del primo momento.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber ma potresti definire la varianza senza fare riferimento alla media (come in termini di aspettativa di differenze quadrate in coppie di valori), quindi il problema non è così banale. Qualcosa di più simile al tuo secondo argomento è effettivamente necessario.

— Glen_b

3

Questo è un buon punto, ma se accettiamo che qualsiasi definizione alternativa della varianza è algebricamente equivalente alla solita definizione per tutte le distribuzioni, allora se non è definito secondo una definizione che logicamente sembrerebbe essere una dimostrazione sufficiente che non è definito secondo Al centro commerciale. Dove alternative come quella che menzioni vengono alla ribalta sono nello studio di processi stocastici in cui le varie definizioni non sono equivalenti.

— whuber

2

Sì, certamente. Una varianza, essendo l'aspettativa di una variabile casuale non negativa, è uguale all'integrale di Lebesgue della sola parte positiva. Pertanto, è finito o infinito (nella riga del numero esteso), non importa quale. Questa proprietà dell'essere non negativo distingue l'analisi dei momenti pari da quella di altri momenti, che non può essere definita.

— whuber

2

La definizione di varianza è che è uguale a .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Le distribuzioni stabili forniscono begli esempi parametrici di ciò che stai cercando:

media e varianza infinite: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
media finita e varianza infinita: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
media e varianza finite: (gaussiano) $\text{stability parameter} = 2$

— Steve Schulist
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1

Nessuno ha menzionato qui il paradosso di San Pietroburgo; altrimenti non pubblicherei in un thread così vecchio che abbia già più risposte tra cui una risposta "accettata".

Se una moneta atterra "teste", vinci un centesimo.

Se "croce", le vincite raddoppiano e poi se "testa" al secondo lancio, vinci due centesimi.

Se "tails" la seconda volta, le vincite raddoppiano di nuovo e se "testa" al terzo lancio, vinci quattro centesimi.

E così via: La somma dei prodotti è quindi è un valore atteso infinito .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

Ciò significa che se paghi milione per ogni lancio di monete, o trilione, ecc., Alla fine vieni fuori. Come può essere, quando è improbabile che vinca più di qualche centesimo ogni volta? $\$1$ $\$1$

La risposta è che in occasioni molto rare, otterrai una lunga sequenza di code, in modo che le vincite ti compensino per l'immensa spesa che hai sostenuto. Questo è vero, non importa quanto sia alto il prezzo che paghi per ogni lancio.

— Michael Hardy
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-1

Per quanto riguarda la seconda distribuzione che stai cercando, considera la variabile casuale quindi la risposta è infinita con probabilità uno, e quindi la varianza è zero e la media di la distribuzione ha un valore infinito.

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Signor Joe
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Questo è un esempio interessante, ma per i calcoli è necessario un sistema di numeri reali esteso dove .

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

— kjetil b halvorsen,