Chiarimento nella geometria dell'informazione

Questa domanda riguarda il documento Geometria differenziale delle famiglie esponenziali curve: curvature e perdita di informazioni di Amari.

Il testo è il seguente.

Sia una varietà dimensionale di distribuzioni di probabilità con un sistema di coordinate , dove è assunto ... $S^n=\{p_{\theta}\}$ $n$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $p_{\theta}(x)>0$

Possiamo considerare ogni punto di come un funzioni di ... $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$

Sia lo spazio tangente di in , che è, approssimativamente parlando, identificato con una versione linearizzata di un piccolo quartiere di in . Sia la base naturale di associata al sistema coordinato ... $T_{\theta}$ $S^n$ $\theta$ $\theta$ $S^n$ $e_i(\theta), i=1,\dots,n$ $T_{\theta}$

Poiché ogni punto di reca un funzioni di , è naturale considerare in come rappresentante la funzione $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$ $e_i(\theta)$ $\theta$

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) .

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$

Non capisco l'ultima affermazione. Questo appare nella sezione 2 del documento sopra citato. In che modo la base dello spazio tangente è data dall'equazione sopra? Sarebbe utile se qualcuno in questa comunità che abbia familiarità con questo tipo di materiale può aiutarmi a capirlo. Grazie.

Aggiornamento 1:

Anche se sono d'accordo (da @aginensky) se sono linearmente indipendenti quindi $\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$ sono linearmente indipendenti, come queste sono membri dello spazio tangente in primo luogo non è molto chiaro. Quindi, come può $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ essere considerato come base per lo spazio tangente. Qualsiasi aiuto è apprezzato. $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

Aggiornamento 2:

@aginensky: nel suo libro Amari afferma quanto segue:

Consideriamo il caso in cui , l'insieme di tutte le misure di probabilità (rigorosamente) positive su , in cui consideriamo come un sottoinsieme di . In effetti, è un sottoinsieme aperto dello spazio affine $S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ . $\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

Quindi lo spazio tangente di in ogni punto può essere naturalmente identificato con il sottospazio lineare . Per la base naturale $T_p(S^n)$ $S^n$ $\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$ di un sistema coordiante, abbiamo $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ . $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

Quindi, prendiamo un altro incorporamento e identifichiamo con il del sottoinsieme di . Un vettore tangente viene quindi rappresentato dal risultato dell'operazione da a , che denotiamo con . In particolare abbiamo $p\mapsto \log p$ $S^n$ $\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ $X\in T_p(S^n)$ $X$ $p\mapsto \log p$ $X^{(e)}$ . È ovvio chee che $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $X^{(e)}=X(x)/p(x)$

T_{p}^{(e)} (S^{n}) = {X^{(e)} | X \in T_{p} (S^{n})} = {A \in R^{X} | \sum_{x} A (x) p (x) = 0} .

$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$

La mia domanda: se entrambi e $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ sono base per lo spazio tangente allora sarebbe questo non toglie chee sono distinti e $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$ $T_p$ $T_p^{(e)}$ ? $\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

$S^n,T_p$ $(\log S^n,T_p^{(e)})$

— Ashok
fonte

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x)

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)$

θ_{i}

$\theta_{i}$

\frac{\partial}{\partial θ_{i}}

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$

p_{θ}

$p_{\theta}$

Ho provato a modificare il mio commento per chiarezza e non mi è stato permesso. Fammi sapere se vuoi maggiori dettagli.

— Meh,

\frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) = 1 / p_{θ} (x) \frac{\partial}{\partial θ_{i}} p_{θ} (x)

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)=1/p_{\theta}(x)\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}(x)$

{d θ_{i}}

$\{d\theta_i\}$

{\frac{\partial}{\partial θ_{i}}}

$\{\frac{\partial}{\partial\theta_i}\}$

d θ

$d\theta$

p_{θ}

$p_{\theta}$

I miei commenti sono così lunghi, li sto inserendo come risposta.

$R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$

$S^n$ $\theta_{i}$ $p_{\theta}$ $S^n$ $p$ $p$ $\theta_{i}$ $R^n$ $p_{\theta}$ $p$

$\{1,2,3\}$ $\{a,b,c\}$ $R^{+}$ $R$ $>0$ e considera cos'è la mappa su spazi tangenti. Finalmente capisco la tua domanda? Un avvertimento è in ordine, vale a dire che la geometria differenziale non è la mia principale area di competenza. Penso di aver capito bene, ma sentiti libero di criticare o ancora mettere in discussione questa risposta.

— meh
fonte

f_{*}

$f_{*}$

p

$p$

G = [g_{i, j}]

$G=[g_{i,j}]$

g_{i, j} = \sum_{x} \partial_{i} p_{θ} (x) \partial_{j} \log p_{θ} (x)

$g_{i,j}=\sum_x\partial_i p_{\theta}(x)~\partial_j\log p_{\theta}(x)$

\partial_{j} \log p_{θ}

$\partial_j\log p_{\theta}$