Formula a forma chiusa per la funzione di distribuzione tra cui asimmetria e curtosi?

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Esiste una tale formula? Dato un insieme di dati per i quali la media, la varianza, l'asimmetria e la curtosi sono note o che possono essere misurate, esiste una singola formula che può essere utilizzata per calcolare la densità di probabilità di un valore che si presume provenga dai dati di cui sopra?

— babelproofreader
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Per qualsiasi distribuzione normale (gaussiana), l'asimmetria è poiché è simmetrica e anche la curtosi in eccesso è dalle proprietà di una distribuzione normale. Per altre distribuzioni, media, varianza, asimmetria e curtosi non sono sufficienti per definire la distribuzione, sebbene di solito si possano trovare esempi.

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— Henry,

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@Henry In realtà, nella maggior parte delle famiglie di distribuzioni di parametri con , i primi quattro momenti - che possono essere recuperati dalla media, dalla varianza, dall'asimmetria e dalla curtosi - sono di solito sufficienti per identificare la distribuzione.

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@whuber: Questo mi sembra leggermente circolare: limitare le distribuzioni a una famiglia in cui ci sono quattro o meno parametri, conoscendo quattro statistiche della distribuzione spesso identifica i parametri. Sono d'accordo. Ma uno dei miei punti era essenzialmente che senza restrizioni ci sono diverse possibilità di distribuzioni con densità di probabilità sostanzialmente variabili in punti particolari anche con gli stessi primi quattro momenti complessivi.

— Henry,

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Capisco cosa intendi, Henry: per "altre distribuzioni" intendevi in senso ampiamente generale, mentre la mia risposta ha assunto il significato nel senso di distribuzioni comunemente usate in statistica (che raramente hanno più di quattro parametri). Penso che il tuo codicillo - "sebbene di solito si possano trovare esempi" - potrebbe aver suggerito la mia interpretazione più ristretta.

— whuber

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Esistono molte di queste formule. Il primo tentativo riuscito di risolvere esattamente questo problema fu fatto da Karl Pearson nel 1895, portando infine al sistema di distribuzioni Pearson . Questa famiglia può essere parametrizzata dalla media, dalla varianza, dall'asimmetria e dalla curtosi. Include, come casi speciali familiari, le distribuzioni Normale, Student-t, Chi-quadro, Gamma inversa e F. Kendall & Stuart Vol 1 forniscono dettagli ed esempi.

— whuber
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Questo suona come un approccio di "corrispondenza del momento" per adattare una distribuzione ai dati. Non è generalmente considerata una grande idea (il titolo del post del blog di John Cook è "un vicolo cieco statistico").

— shabbychef
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Il test K2 di D'Agostino ti dirà se una distribuzione del campione proviene da una distribuzione normale basata sull'asimmetria e sulla curtosi del campione.

Se vuoi fare un test assumendo una distribuzione non normale (forse con elevata asimmetria o curtosi), dovrai capire qual è la distribuzione. Puoi guardare la distribuzione normale inclinata e la distribuzione normale generalizzata . Se lo fai, consideri anche altre distribuzioni.

— Thomas Levine
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