Esiste una versione semplice del test di equivalenza del test di Kolmogorov

Sono stati previsti due test unilaterali per l'equivalenza (TOST) per il test di Kolmogorov – Smirnov per verificare l'ipotesi nulla negativista secondo cui due distribuzioni differiscono di almeno un livello specificato dal ricercatore?

Se non TOST, allora qualche altra forma di test di equivalenza?

Nick Stauner sottolinea saggiamente che (dovrei già sapere;) che esistono altri test di equivalenza TOST non parametrici per ipotesi nulle per l'equivalenza stocastica e, con ipotesi più restrittive, per l'equivalenza mediana.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Alexis
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Correlati: test di equivalenza per dati non normali?

— Nick Stauner,

Ok, ecco il mio primo tentativo. Esame attento e commenti apprezzati!

Le ipotesi a due campioni
Se riusciamo a inquadrare test di ipotesi su Kolmogorov-Smirnov su un lato , con ipotesi nulle e alternative lungo queste linee:

H e $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , per almeno una , dove: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

la statistica del test corrisponde a H ; $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
la statistica del test corrisponde a H ; e $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
e sono iCDF empiricidei campioni e , $F_{Y}\left(t\right)$ $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

allora dovrebbe essere ragionevole creare un'ipotesi di intervallo generale per un test di equivalenza lungo queste linee (supponendo che l'intervallo di equivalenza sia simmetrico per il momento):

H e $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , per almeno una. $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Ciò si tradurrebbe in due ipotesi nulle "negativiste" specifiche per verificare l'equivalenza (queste due ipotesi assumono la stessa forma, dal momento che sia che sono rigorosamente non negative): $D^{+}$ $D^{-}$

H , oppure $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Rifiutare sia H che H porterebbe a concludere che . Naturalmente, l'intervallo di equivalenza non deve essere simmetrico e e $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ potrebbero essere sostituiti con (inferiore) e (superiore) per le rispettive ipotesi null unilaterali. $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Le statistiche del test (aggiornate: Delta è al di fuori del segno del valore assoluto)
Le statistiche del test e (lasciando impliciti e ) corrispondono rispettivamente a H e H e sono: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

, e $D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

Soglia di equivalenza / rilevanza
L'intervallo —o , se si utilizza un intervallo di equivalenza asimmetrico — è espresso in unità di e o l'entità delle probabilità differenziali. Quando e avvicinano all'infinito, il CDF di o per avvicina a per $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ e per : $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Quindi mi sembra che il PDF per scala del campione (o scala del campione ) deve essere per e per : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Glen_b points out that this is a Rayleigh distribution with $\sigma=\frac{1}{2}$ . So the large sample quantile function for sample size-scaled $D^{+}$ and $D^{-}$ is:

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

and a liberal choice of $\Delta$ might be the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ , and a more strict choice the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$ .

— Alexis
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In the line where you pass from the cdf to the pdf, I think you got that wrong. Let

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$ , so (abusing notation), in the limit

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$ . Then

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$ (note the

t

$t$ after the

4

$4$ ). (note also a missing sign in the exponent in the line above the taking of the derivative. Also I'm not sure why you have an integral symbol there, but maybe I misunderstood something.)

— Glen_b -Reinstate Monica

@stochazesthai

D_{1}

$D_{1}$ and

D_{2}

$D_{2}$ are two one-sided test statistics. Per TOST you need to reject both the null hypotheses to which these test statistics apply.

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ is a critical value from CDF

^{- 1}

$^{-1}$ on the above line, and where you want to sub in

1 - α

$1-\alpha$ for

p

$p$ (e.g.

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$ ). The choice of

Δ

$\Delta$ depends on how far past

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ (the critical rejection value for a plain old positivist

H_{0}

$H_{0}$ ) you need to go, before you conclude relevant difference (e.g. liberal 'equivalence' is

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ beyond

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ ).

— Alexis

@stochazesthai (Continuing) So if both

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ and

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then you reject

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$ .

— Alexis

@stochazesthai Whoops! I should have put the quotes around the word liberal rather than equivalence two comments back. :)

— Alexis

@stochazesthai If

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ , then reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ , if

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$ , then fail to reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ . If

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , if

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$ , then fail to reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ . If reject both

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ and

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , then reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ , otherwise fail to reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ .

— Alexis

An alternative to TOST in equivalence testing is based on the confidence interval approach:

Let $\Delta$ denote the prespecified equivalence margin and

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$ the Kolmogorov-Smirnov distance between the unknown underlying distribution functions.

Now, if a 90% confidence interval for $\theta$ is completely within $[-\Delta, \Delta]$ , then we may be 95% certain that $\theta$ is enough close to 0 to speak of "equivalence".

Without knowing the underlying distributions, it seems to be hopeless to derive an approximate analytic confidence interval, so we might need to rely on (bias corrected) bootstrap confidence intervals based on resampling from pairs $X$ and $Y$ . (I don't want to find conditions for their validity in this particular application though...)

— Michael M
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Excellent. Do you have a citation for anyone undertaking the CI of

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$ (bootstrap or otherwise)?

— Alexis

Good point... The short paper tomswebpage.net/images/K-S_test.doc mentions the "Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, Fifth Edition by David J.Sheskin (Apr 27, 2011)." to offer a two-sample case construcion for D. But at the moment, I don't have access to this book.

— Michael M

Esiste una versione semplice del test di equivalenza del test di Kolmogorov – Smirnov?