Qual è il CDF a due campioni di e dal test unilaterale di Kolmogorov-Smirnov?

Sto cercando di capire come ottenere valori per il test unilaterale di Kolmogorov-Smirnov e sto cercando di trovare CDF per e nel caso di due campioni. Di seguito viene citato in alcuni punti come CDF per in un caso a campione: $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

Inoltre, se c'è una formulazione leggermente diversa di questo CDF a un campione (sto sostituendo $x$ per $t$ nella sua citazione per coerenza con la mia notazione qui):

Usando la trasformazione integrale di probabilità, Donald Knuth deriva la loro distribuzione (comune) a pag. 57 ed esercizio 17 del Volume 2. TAoCP Cito:

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

Ciò si applicherebbe alle ipotesi unilaterali nel caso di un campione, come ad esempio: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , dove $F(x)$ è il CDF empirico di $x$ e $F_{0}$ è un CDF.

Io penso che la $x$ in questo caso è il valore di $D^{+}_{n}$ nel proprio campione, e che $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ è il più grande intero in $n-nx$ . (È giusto?)

Ma qual è il CDF per (o ) quando uno ha due campioni? Ad esempio, quando H per i CDF empirici di e ? Come ottenere ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— Alexis
fonte

Proprio come un puntatore per chiunque cerchi di rispondere a questa domanda - la mia risposta alla domanda precedente di Alexis (che è collegata alla domanda precedente) ha collegamenti a diversi riferimenti con alcune discussioni sulla storia, ognuna con una serie di riferimenti pertinenti. Potresti voler controllare quei documenti e il loro elenco di riferimenti.

— Glen_b

@Glen_b Grazie! Apprezzo davvero la tua eccellente risposta all'altra mia domanda e ho seguito le risorse citate, ma non ho ottenuto alcuna trazione sul CDF per lì, e piuttosto che impantanare i commenti che pensavo di aprire una nuova query . Ulteriori riferimenti benvenuti, se conosci qualcuno che funzionerà per questo.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis,

Alexis: nessuna critica era intesa dal mio commento; la tua scelta di aprire una nuova domanda era esattamente giusta (secondo me). Volevo solo salvare alle persone un po 'di legwork nel rintracciare alcuni dei riferimenti pertinenti - ho pensato che potrebbe non venire necessariamente in mente a tutti di seguire il tuo link all'altra domanda, e potrebbe non succedere alle persone che hanno fatto quei link nel mio la risposta aveva alcuni riferimenti che potrebbero voler conoscere.

— Glen_b

Ok, ho intenzione di accoltellarmi. Approfondimenti critici benvenuti.

A pagina 192 Gibbons e Chakraborti (1992), citando Hodges, 1958, iniziano con un CDF a piccolo campione (esatto?) Per il test su due lati (sto scambiando la loro notazione e con e , rispettivamente): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Dove viene prodotto attraverso un elenco di percorsi (aumentando monotonicamente in e ) dall'origine al punto attraverso un grafico con — sostituendo con — i valori dell'asse xe dell'asse y sono e . I percorsi devono inoltre obbedire al vincolo di rimanere all'interno dei confini (dove è il valore della statistica del test di Kolmogorov-Smirnov): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Di seguito è illustrata la figura 3.2 che fornisce un esempio di , con 12 percorsi di questo tipo: $A(3,4)$

Figura 3.2 da pagina 193 di Gibbons e Chakraborti (1992) inferenza statistica non parametrica.

Gibbons e Chakaborti continuare a dire che l' unilaterale -value viene ottenuta utilizzando lo stesso metodo grafica, ma con solo il limite inferiore per , e solo la parte superiore per . $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Questi piccoli approcci di esempio comportano algoritmi di enumerazione del percorso e / o relazioni di ricorrenza, che rendono senza dubbio desiderabili calcoli asintotici. Gibbons e Chakraborti notano anche i CDF limitanti quando e avvicinano all'infinito, di : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

E danno il CDF limitante di (o ) come: $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

Poiché e sono rigorosamente non negativi, il CDF può assumere solo valori diversi da zero su : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$CDF di $ D ^ {+} $ (o $ D ^ {-} $)$

Riferimenti
Gibbons, JD e Chakraborti, S. (1992). Inferenza statistica non parametrica . Marcel Decker, Inc., 3a edizione, edizione rivista e ampliata.

Hodges, JL (1958). La probabilità di significatività del test a due campioni di Smirnov. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.

— Alexis
fonte

Il cdf effettivo esiste ovunque, ma per il cdf sarà zero; la forma funzionale avete dato vale solo per (questo è suscettibile di semplice ragionamento, per di ?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b -Reinstate Monica