Trova

9

Sia la lingua di tutte le formule -CNF , in modo tale che almeno $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ delleclausoledipossono essere soddisfatte. $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Devo dimostrare che esiste st è -hard per qualsiasi . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Sappiamo che può essere approssimativo a $\text{Max}2\text{Sat}$ precent delle clausole da unariduzione diCome dovrei risolvere questo? $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Joni
fonte

8

$21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ $1/2$

— Yuval Filmus
fonte

Il tuo metodo funziona quando ε è un numero reale arbitrario (ma sufficientemente piccolo)? Non riesco a capire come scegliere il numero appropriato di clausole da utilizzare per il riempimento a meno che non supponga qualcosa su ε. (Si noti che ε non fa parte dell'input, e quindi è ben definito considerare il numero reale ε.)

— Tsuyoshi Ito

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

Ah, in qualche modo ho pensato che quel metodo non funzionasse quando l'ho provato per primo, ma ora vedo come funziona. Grazie!

— Tsuyoshi Ito,

5

Se sai che ε è un numero razionale, non hai bisogno di inapprossimabilità per Max-2-SAT per provare la tua affermazione. Una prova tipica della durezza NP di Max-2-SAT (ad esempio, quella nel libro Complessational Compity di Papadimitriou) dimostra in realtà la completezza NP di L _1/5 . Per dimostrare l'NP-durezza L _ε per positivo razionale numeri ε <1/5, possiamo ridurre L _1/5 a L _ε come segue: data una formula 2CNF φ (un'istanza per L _1/5 ), lasciate m sia il numero di clausole in esso. Let r es sono numeri interi positivi tali che (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s vale. Quindi costruisci una formula 2CNF (un'istanza per L _ε ) ripetendo φ per r volte e aggiungendo s coppie di clausole contraddittorie. Un semplice calcolo mostra che si tratta in effetti di una riduzione da L _1/5 a L _ε .

Questa riduzione funziona chiaramente solo se ε è razionale, perché altrimenti r e s non possono essere presi come numeri interi. Il caso generale in cui ε non è necessariamente razionale sembra richiedere inapprossimabilità, come ha scritto Yuval Filmus nella sua risposta.

— Tsuyoshi Ito
fonte