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Sia la lingua di tutte le formule 2 -CNF φ , in modo tale che almeno ( 1Lϵ2φdelleclausolediφpossono essere soddisfatte.(12+ϵ)φ

Devo dimostrare che esiste st L ϵ è N P -hard per qualsiasi ϵ < ϵ .ϵLϵNPϵ<ϵ

Sappiamo che può essere approssimativo a 55Max2Sat precent delle clausole da unariduzione diMax3Sat. Come dovrei risolvere questo?5556Max3Sat

Risposte:


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21/22α(22/21)αα1/2p1/2a¬a1/2+p(α1/2)1/2+p((22/21)α1/2)1/2


Il tuo metodo funziona quando ε è un numero reale arbitrario (ma sufficientemente piccolo)? Non riesco a capire come scegliere il numero appropriato di clausole da utilizzare per il riempimento a meno che non supponga qualcosa su ε. (Si noti che ε non fa parte dell'input, e quindi è ben definito considerare il numero reale ε.)
Tsuyoshi Ito

1/2+p(α1/2)1/2+p((22/21)α1/2)αp

Ah, in qualche modo ho pensato che quel metodo non funzionasse quando l'ho provato per primo, ma ora vedo come funziona. Grazie!
Tsuyoshi Ito,

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Se sai che ε è un numero razionale, non hai bisogno di inapprossimabilità per Max-2-SAT per provare la tua affermazione. Una prova tipica della durezza NP di Max-2-SAT (ad esempio, quella nel libro Complessational Compity di Papadimitriou) dimostra in realtà la completezza NP di L 1/5 . Per dimostrare l'NP-durezza L ε per positivo razionale numeri ε <1/5, possiamo ridurre L 1/5 a L ε come segue: data una formula 2CNF φ (un'istanza per L 1/5 ), lasciate m sia il numero di clausole in esso. Let r es sono numeri interi positivi tali che (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s vale. Quindi costruisci una formula 2CNF (un'istanza per L ε ) ripetendo φ per r volte e aggiungendo s coppie di clausole contraddittorie. Un semplice calcolo mostra che si tratta in effetti di una riduzione da L 1/5 a L ε .

Questa riduzione funziona chiaramente solo se ε è razionale, perché altrimenti r e s non possono essere presi come numeri interi. Il caso generale in cui ε non è necessariamente razionale sembra richiedere inapprossimabilità, come ha scritto Yuval Filmus nella sua risposta.

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