Una lingua in NSPACE (O (n)) e molto probabilmente non in DSPACE (O (n))

In realtà ho scoperto che l'insieme delle lingue sensibili al contesto, ( lingue accettate) non sono così ampiamente discusse come (lingue normali) o \ mathbf {CFL} (lingue senza contesto). E anche il problema aperto \ mathbf {DSPACE (O (n))} = ^ {?} \ Mathbf {NSPACE (O (n))} non è così famoso come il problema "analogo": " \ mathbf {P} = ^ {?} \ mathbf {NP} ".$\mathbf{CSL}$$\mathbf{=NSPACE(O(n)) = LBA}$$\mathbf{REG}$$\mathbf{CFL}$$\mathbf{DSPACE(O(n))} =^{?} \mathbf{NSPACE(O(n))}$$\mathbf{P} =^{?} \mathbf{NP}$

Bene, esiste davvero una simile analogia :?

1. Esiste una lingua in che non può essere dimostrata in (come lingue complete)?D S P A C E ( O ( n ) ) N $\mathbf{CSL}$$\mathbf{DSPACE(O(n))}$$\mathbf{NP}$
2. Inoltre: esiste un linguaggio $L$ in $\mathbf{CSL}$ che è "completo" nel senso seguente: se possiamo dimostrare che $L$ è in $\mathbf{DSPACE(O(n))}$ otteniamo quel $\mathbf{DSPACE(O(n)) = NSPACE(O(n))}$ ?
3. (Forse solo una questione di opinione) Entrambi i problemi sono allo stesso livello di difficoltà?

La versione più nota di queste domande è la domanda . Se allora un argomento di riempimento (leggermente complicato) mostra che , e quindi implica la famosa congettura .L = N L D S P A $\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$$\mathsf{L} = \mathsf{NL}$D S P A C E ( n ) ≠ N S P A C E ( n ) L ≠ N $\mathsf{DSPACE}(n) = \mathsf{NSPACE}(n)$$\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$$\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$

La congettura è considerata (da alcuni) più accessibile della congettura . Non sono sicuro che molte persone abbiano un'opinione sulla congettura .P ≠ N P D S P A C E ( n ) ≠ N S P A C E ( n $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$

Il quadro più grande qui è se il teorema di Savitch , che afferma che per ragionevole , è stretto. Mentre , penso che molte persone credano che . D'altra parte, non sono sicuro che le persone credano che sia l'esplosione ottimale; forse funziona anche un esponente più piccolo, almeno in alcuni casi. Vedi ad esempio un recente articolo di arXiv , La complessità spaziale parametrizzata della logica del primo ordine con variabili limitate di controllo del modello , di Yijia Chen, Michael Elberfeld e Moritz Müller.t ( n ) ≥ log n N P S P A C E = P S P A C E N S P A C E ( n k ) ≠ D S $\mathsf{NSPACE}(t(n)) \subseteq \mathsf{DSPACE}(t(n)^2)$$t(n) \geq \log n$$\mathsf{NPSPACE} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{NSPACE}(n^k) \neq \mathsf{DSPACE}(n^k)$$t(n)^2$

1. Sì, ci sono lingue complete CSL in riduzioni DSPACE (O (n)) . Fondamentalmente ancora una variante della raggiungibilità diretta, che può essere limitata alla raggiungibilità aciclica se lo si desidera.
2. Sì, vedi 1.

3. Vuoi dire, è la domanda DSPACE (O (n)) = ^? NSPACE (O (n)) allo stesso livello di difficoltà della domanda P = ^? NP ? Bene, abbiamo buone ragioni per credere che P sia un sottoinsieme rigoroso di NP , ma non sono a conoscenza di ragioni altrettanto ben elaborate per credere che DSPACE (O (n)) sia un sottoinsieme rigoroso di NSPACE (O (n)) . Consentitemi di concentrarmi sulla domanda più semplice . Le passeggiate casuali sono "non male" per esplorare (rispetto alla raggiungibilità) i grafici non indirizzati associati a SL$\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$. L'ovvia banale passeggiata casuale analoga su un grafico diretto fallirà male nell'esplorazione di un grafico diretto (rispetto alla raggiungibilità). Ma forse ci sono altri modi randomizzati simili per esplorare un grafico diretto (o un grafico aciclico stratificato). Basandomi sul teorema di Savitch, immagino persino che ci siano questi modi, se siamo disposti a salvare una serie mutevole di posizioni all'interno del grafico diretto durante il processo di esplorazione casuale. E quindi la sfida sarebbe capire se salvare meno di posizioni non consentirà una buona esplorazione randomizzata.$O(\log n)$$O(\log n)$

   Anche dopo aver capito se dovremmo credere a , dimostrarlo sarà probabilmente impossibile quanto provare . Ryan Williams fornisce una ragione esplicita e dice:$\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

   Oltre a ciò, non conosco ragioni particolari per ritenere che sia "difficile da dimostrare" oltre all'osservazione che molte persone hanno provato e nessuna è ancora riuscita.

   rispondere È ALogTime! = PH difficile da dimostrare (e sconosciuto)? Lance Fortnow ha sostanzialmente sollevato la questione e non è ancora d'accordo. La mia lezione era:

   Ciò significa che l'affermazione "ALogTime! = PH" è esattamente il luogo in cui iniziano le difficoltà a dimostrare i risultati della separazione. Si può notare che questa affermazione è in realtà equivalente a "ALogTime! = NP", poiché "ALogTime = NP" implicherebbe "P = NP = PH".

Aggiungendo alle altre risposte, esiste una nozione di riducibilità e completezza per il problema CSL vs. DCSL, vale a dire la riducibilità log-lin, e ci sono problemi di CSL del tutto naturali. Ad esempio, il problema della disuguaglianza per le espressioni regolari. Ecco una domanda molto simile alla tua, insieme a una risposta che fornisce ulteriori informazioni e riferimenti: /cstheory/1905/completeness-and-context-sensitive-languages

$SAT$ è in$NTIME(n) \subseteq DSPACE(n)$ . Partendo dal presupposto di$L = P$ , allora$NP$ è strettamente contenuto in$DSPACE(n)$ poiché possiamo trasformare le riduzioni del tempo polinomiale in riduzioni dello spazio logaritmico e$DSPACE(n)$è chiuso con riduzioni logaritmiche dello spazio. Non sono uguali a causa del Teorema della Gerarchia. Tuttavia, quando $L = NL$ allora $DSPACE(n) = NSPACE(n)$ come risultato dell'applicazione dell'argomento padding. Poiché $L = NL$ quando $L = P$ allora $NP$ è strettamente contenuto in $NSPACE(n)$. Tuttavia, $CSL = NSPACE(n)$ e quindi $CSL \neq NP$ e, quindi, non potrebbe essere il caso che alcuni problemi $CSL-complete$ siano in $NP$ perché implicherebbe una contraddizione con $CSL \neq NP$ che abbiamo ottenuto dopo aver assunto $L = P$ .

$L = P$

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01999029