Un linguaggio denso NP completo implica P = NP

Diciamo che il linguaggio è denso se esiste un polinomio tale che per tutti gli In altre parole, per ogni data lunghezza esistono solo polinomialmente molte parole di lunghezza che non sono in $J \subseteq \Sigma^{*}$ $p$

| J^{c} \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J^c \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

n \in N .

$n \in \mathbb{N}.$

n

$n$

n

$n$

J .

$J.$

Il problema che sto studiando attualmente richiede di mostrare quanto segue

Se esiste un linguaggio denso completo allora $NP$ $P = NP$

Ciò che il testo suggerisce è considerare la riduzione polinomiale a - e quindi costruire un algoritmo che tenti di soddisfare la formula data generando al contempo elementi in $3$ $SAT$ $CNF$ $J^c.$

Quello che mi chiedo è

Esiste una prova più diretta? Questa nozione è nota in un contesto più generale?

— Jernej
fonte

Esiste una nozione correlata di lingue sparse , in cui la condizione è esattamente l'opposto:

| J \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

— Yuval Filmus,

Dai un'occhiata al teorema di Mahaney .

— Pål GD,

@ PålGD Trasformati in una risposta? (supponendo che l'argomento si

— ripercuota

Risposte:

Questo è un bel problema di compiti a casa sul teorema di Mahaney.

Si noti che il complemento di una lingua "densa" è una lingua sparsa. Inoltre, se una lingua è Completa il suo complemento è -Complete. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Se c'è una "fitta" lingua -Complete, v'è una scarsa lingua -Complete. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Il teorema di Mahaney ci dice che non v'è scarsa lingua -Complete a meno che . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Siamo in grado di adottare la prova per dimostrare che non v'è scarsa lingua -Complete a meno che che è equivalente a (poiché è chiusa sotto complementi). $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

In sintesi, la risposta è no, a meno . Nota che se allora ogni linguaggio non banale è completo. $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

ps: si consiglia di provare quanto segue e quindi utilizzare il teorema di Mahaney: c'è una scarsa insieme -Complete se e solo se v'è una scarsa set -Complete. Tuttavia dubito che una dimostrazione per questa affermazione sarebbe molto più semplice di una dimostrazione del teorema di Mahaney. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

— Kaveh
fonte

Come menzionato sopra secondo il teorema di Mahaney . Lingue sparse e dense non potrebbe essere a meno che . $NP-Hard$ $P=NP$

La bozza menzionata contiene prove complete.

— Reza
fonte

Questo non dà altro che il commento (che non è nemmeno tuo). Si prega di elaborare per dare una risposta corretta da questo post.

— Raffaello

@Raphael: è una risposta adeguata. Hai controllato il link?

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: le risposte costituite solo da un collegamento sono generalmente considerate non valide su SE; vedi qui .

— Raffaello

@Raphael: la risposta alla domanda è stata risolta in precedenza in letteratura. Il link contiene l'intera prova (che è di 6 pagine). Penso che se avesse più domande potremmo continuare con la discussione.

— Reza

@Raphael: sciocco. Un collegamento è meglio di niente. Se lo desideri, elabora la risposta da solo invece di incolpare un utente per la pubblicazione di un link utile.

— Tsuyoshi Ito