Eliminazione gaussiana in termini di azione di gruppo

L'eliminazione gaussiana rende determinante una matrice di tempo polinomiale calcolabile. La riduzione della complessità nel calcolo del determinante, che è altrimenti somma di termini esponenziali, è dovuta alla presenza di segni negativi alternativi (la cui mancanza rende il calcolo permanente è cioè più difficile di problemi ). Ciò porta a una sorta di simmetria nel determinante, ad esempio lo scambio di una coppia di righe o colonne inverte i segni. Ho letto da qualche parte, probabilmente in relazione agli algoritmi olografici introdotti da Valiant, che l'eliminazione gaussiana potrebbe essere spiegata in termini di azione di gruppo e questo a sua volta porta a tecniche generiche nella riduzione della complessità.$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$

Inoltre, ritengo che quasi tutte le fonti di riduzione della complessità per qualsiasi problema computazionale siano una sorta di simmetria presente. È vero? Possiamo formalizzarlo rigorosamente in termini di teoria dei gruppi?

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Ho trovato il riferimento . (pag. 2, ultima riga del secondo paragrafo). Non ho capito bene il documento, se la mia domanda si basa su una comprensione errata del documento, per favore correggimi.

Nel caso del determinante, l'eliminazione gaussiana può effettivamente essere vista come equivalente all'idea che il determinante abbia un grande gruppo di simmetria (di una forma particolare) ed è caratterizzato da quel gruppo di simmetria (ovvero qualsiasi altro grado omogeneo polinomiale in n 2 variabili con tali simmetrie deve essere un multiplo scalare del determinante). (E, per quanto riguarda @Tsuyoshi Ito, il fatto che le simmetrie del permanente sembrano non aiutarlo a calcolarlo in modo efficiente: sebbene il permanente sia anche caratterizzato dalle sue simmetrie, il suo gruppo di simmetria è molto più piccolo di quello del determinante.)$n$$n^2$

Puoi trovare una descrizione di questo - dove le simmetrie del determinante sono usate per eliminare l'eliminazione gaussiana, lungo la strada dimostrando che il determinante è caratterizzato dalle sue simmetrie - nella Proposizione 3.4.3 della mia tesi (spudorato sé-plug) ma inoltre, non l'ho mai visto formulato in questo modo prima e scritto in dettaglio, come richiesto dall'OP, anche se sono sicuro che sia stato fatto; sarei felice se qualcuno avesse altri riferimenti).

Per quanto riguarda l'idea che la simmetria porti sempre alla riduzione della complessità (o meno), oltre alle cose già presenti nei commenti, vedi questa domanda e le sue risposte.

Un punto interessante è che nei primi articoli di Valiant su quella che ora è conosciuta come la versione della teoria della complessità algebrica di Valiant, stava cercando di sottolineare che una delle ragioni per cui il determinante è importante dal punto di vista computazionale è perché all'incirca tutti gli (allora) noti algoritmi efficienti potrebbero essere ridotto ad algebra lineare e quindi al calcolo del determinante, ad esempio l'algoritmo FKT per il conteggio degli abbinamenti nei grafici planari. Questa è ovviamente un'esagerazione, ma continua a essere confermata dalla ricerca sugli algoritmi olografici, che spesso si riducono al calcolo del Pfaffian (un parente stretto del determinante). Sicuramente Valiant sapeva che si trattava di un'esagerazione, ma ecco la citazione esatta solo per assicurarsi che non sto travisando ( L. Valiant. Classi di completezza in algebra. ACM STOC 1979 ):

Le nostre conclusioni principali possono essere riassunte approssimativamente come segue:

(a) L'algebra lineare offre essenzialmente l'unica tecnica veloce per il calcolo di polinomi multivariati di grado moderato

(b) ...

Ci sono casi in cui le simmetrie di un problema (sembrano) caratterizzano la sua complessità. Un esempio molto interessante sono i problemi di soddisfazione dei vincoli (CSP).

Definizione di CSP

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

polimorfismi

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

$f(x, y) = x$

Polimorfismi e complessità (la congettura della dicotomia)

$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

Un grave problema aperto nella teoria della complessità è quello di caratterizzare la durezza dei CSP. La congettura della dicotomia di Feder e Vardi afferma che qualsiasi CSP è in P o NP-completo. La congettura può essere ridotta a una dichiarazione sui polimorfismi: un CSP è NP-difficile se e solo se gli unici polimorfismi che ammette sono "dittatori" (altrimenti è in P). Vale a dire un CSP è difficile solo se non esiste un modo locale per formare nuove soluzioni originali da vecchie soluzioni. La parte if (durezza) è nota, ma l'unica parte if (progettazione di un algoritmo polytime) è aperta.

$U = \{0, 1\}$

Per saperne di più sui polimorfismi, l'algebra universale e la congettura della dicotomia, puoi guardare l' indagine di Bulatov .

Polimorfismi e approssimabilità

Raccomando anche una lezione IAS di Prasad Raghavendra in cui mette i suoi risultatifornendo un'approssimabilità ottimale di qualsiasi CSP ipotizzando la congettura di giochi unica in un quadro simile. Ad un livello elevato, se tutti i polimorfismi (questo deve essere generalizzato per gestire i problemi di approssimazione) di un CSP sono vicini ai dittatori, si può usare il CSP per progettare un modo per testare se una funzione è un dittatore, e questo risulta essere tutto ciò che serve per dare una durezza di riduzione dell'approssimazione da giochi unici. Questo dà la direzione della durezza del suo risultato; la direzione algoritmica è che quando un CSP ha un polimorfismo che è lontano da un dittatore, si può usare un principio di invarianza (generalizzazione dei teoremi del limite centrale) per sostenere che un algoritmo di arrotondamento SDP fornisce una buona approssimazione. Un'intuizione davvero abbozzata per la parte algoritmica: un polimorfismo che è lontano da un dittatore non lo fa non importa se viene dato come argomento (una distribuzione su) assegnazioni di variabili o variabili casuali gaussiane che approssimano localmente una distribuzione su assegnazioni di variabili. Questo è lo stesso modo in cui una funzione di somma "non se ne cura" se viene data da variabili casuali discrete con varianza ridotta o camper gaussiani con la stessa varianza, dal teorema limite centrale. Le variabili casuali gaussiane di cui abbiamo bisogno possono essere calcolate da un rilassamento SDP del problema CSP. Quindi troviamo un polimorfismo che è tutt'altro che un dittatore, alimentiamo i campioni gaussiani e otteniamo una buona soluzione. se viene dato variabili casuali discrete con piccola varianza o valori gaussiani con la stessa varianza, dal teorema limite centrale. Le variabili casuali gaussiane di cui abbiamo bisogno possono essere calcolate da un rilassamento SDP del problema CSP. Quindi troviamo un polimorfismo che è tutt'altro che un dittatore, alimentiamo i campioni gaussiani e otteniamo una buona soluzione. se viene dato variabili casuali discrete con piccola varianza o valori gaussiani con la stessa varianza, dal teorema limite centrale. Le variabili casuali gaussiane di cui abbiamo bisogno possono essere calcolate da un rilassamento SDP del problema CSP. Quindi troviamo un polimorfismo che è tutt'altro che un dittatore, alimentiamo i campioni gaussiani e otteniamo una buona soluzione.