Applicazioni della teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico

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Ispirato da questa domanda e in particolare dall'ultimo paragrafo della risposta di Or, ho la seguente domanda:

Conosci qualche applicazione della teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico in TCS?

Il gruppo simmetrico è il gruppo di tutte le permutazioni di con composizione operativa di gruppo. Una rappresentazione di è un omomorfismo da al gruppo lineare generale di matrici complesse invertibili . Una rappresentazione agisce su per moltiplicazione di matrici. Una rappresentazione irriducibile di è un'azione che non lascia invariato il sottospazio di . Le rappresentazioni irriducibili di gruppi finiti consentono di definire una trasformata di Fourier su gruppi non abeliani $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . Questa trasformata di Fourier condivide alcune delle belle proprietà della trasformata discreta di Fourier su gruppi ciclici / abeliani. Ad esempio la convoluzione diventa una moltiplicazione puntuale nella base di Fourier.

La teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico è magnificamente combinatoria. Ogni rappresentazione irriducibile di corrisponde a una partizione intera di . Questa struttura e / o la trasformata di Fourier sul gruppo simmetrico hanno trovato applicazione in TCS? $S_n$ $n$

— Sasho Nikolov
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vedi anche applicazioni del gruppo simmetrico , wikipedia

— vzn

tutte risposte molto interessanti. avrò difficoltà a sceglierne uno da accettare.

— Sasho Nikolov,

decente introduzione / panoramica puramente teorica, Young Tableaux e le rappresentazioni del gruppo simmetrico, di Zhao

— vzn,

2

Questo articolo ha appena colpito arXiv quant-ph: una soluzione alla tipicità di due parti usando la teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico di Janis Noetzel.

— Tyson Williams,

La fattorizzazione a matrice basata sulla simmetria di Egner e Puschel utilizza elementi di e teoria della rappresentazione per una fattorizzazione / decomposizione / moltiplicazione della matrice efficiente. vedi S3.2 sulla simmetria Perm-Perm.

S_{n}

$S_n$

— vzn,

27

Ecco alcuni altri esempi.

Diaconis e Shahshahani (1981) hanno studiato quante trasposizioni casuali sono necessarie per generare una permutazione quasi uniforme. Hanno dimostrato una soglia netta di 1/2 n log (n) +/- O (n). Generazione di una permutazione casuale con trasposizioni casuali .
Kassabov (2005) ha dimostrato che si può costruire un espansore di grado limitato sul gruppo simmetrico. Gruppi simmetrici e grafici di espansione .
Kuperberg, Lovett e Peled (2012) hanno dimostrato che esistono piccole serie di permutazioni che agiscono uniformemente sulle k-tuple. Esistenza probabilistica di rigide strutture combinatorie .

— Shachar Lovett
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3

Grazie Shachar, e benvenuto su cstheory! Mi sono preso la libertà di sistemare i tuoi collegamenti: erano un po 'discordanti

— Sasho Nikolov,

14

Un'ottima domanda. Non conosco la risposta completa e vorrei conoscerla da solo. Tuttavia, potresti trovare interessante quanto segue. Se, invece del gruppo , consideriamo il suo monoide 0-Hecke , ha una rappresentazione su una certa classe di matrici intere che agisce per moltiplicazione tropicale . Questo ha molte applicazioni interessanti in stringologia, tramite percorsi più brevi a più fonti in grafici a griglia. Per i dettagli, consultare il mio rapporto tecnico: $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. Tiskin. Confronto di stringhe semi-locali: tecniche algoritmiche e applicazioni. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— Alexander Tiskin
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Grazie! Sembra molto interessante e lo verificherò sicuramente.

— Sasho Nikolov,

14

Ecco un esempio che conosco:

`` Sulla congettura 'Log-Rank' nella complessità della comunicazione '' , R.Raz, B.Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

Credo che ci sia molto di più.

— Klim
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3

Potresti riassumere quali sono i modelli di rappresentazione e come vengono applicati?

— Vijay D,

@VijayD probabilmente Klim ne sa di più, ma il problema qui è come la complessità della comunicazione di una funzione è correlato al registro del suo rango (pensando a come una matrice reale ). Costruiscono una di grado e CC . Il rango di viene calcolato scrivendolo come la somma delle matrici nella rappresentazione regolare di

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho Nikolov,

In realtà ho letto questo articolo qualche tempo fa, quindi ora non me lo ricordo esattamente.

— Klim,

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Ecco un esempio dal calcolo quantistico:

Roland, Jeremie; Roetteler, Martin; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "Avversari assistiti dalla simmetria per la generazione di stati quantistici", Atti della 26ª Conferenza annuale IEEE sulla complessità computazionale, CCC '11, IEEE Computer Society, pp. 167-177, doi: 10.1109 / CCC. 2.011,24

Mostrano che la complessità della query quantistica di un certo problema chiamato Index Erasure è usando la teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico per costruire una matrice avversaria ottimale da collegare al metodo avversario quantistico. $\Omega(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
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Il terzo volume di Knuth di The Art of Computer Programming è dedicato alla ricerca e all'ordinamento e dedica molto alla combinatoria e alle permutazioni e alla corrispondenza Robinson-Schensted-Knuth , che è centrale nella teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico.
Ci sono diversi articoli di Ellis-Friedgut-Pilpel e Ellis-Friedgut-Filmus che risolvono problemi combinatori estremi usando l'analisi armonica su . Non proprio TCS, ma abbastanza vicino. $S_n$
All'inizio degli anni '90 Ajtai ebbe meravigliosi risultati sulla rappresentazione modulare di che furono motivati da domande sulla complessità computazionale. Non ricordo i dettagli o se è stato pubblicato, ma vale la pena esaminarlo! $S_n$

— Gil Kalai
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Grazie Gil! Credo che uno degli articoli di Ajtaj che hai in mente sia questo: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html . Penso che l'applicazione sia alla prova della complessità del principio del buco del piccione, ma non capisco ancora bene la connessione.

— Sasho Nikolov,

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Il gruppo simmetrico sfida il forte campionamento di Fourier di Moore, Russell, Schulman

"mostriamo che il problema del sottogruppo nascosto sul gruppo simmetrico non può essere risolto in modo efficace con un forte campionamento di Fourier ... Questi risultati si applicano al caso speciale relativo al problema dell'isomorfismo del grafico."

con una connessione per risolvere il problema dell'isomorfismo grafico tramite approcci QM

sec 5 Teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico

— VZN
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Più statistiche che informatica, ma comunque interessanti: Nel capitolo 8 della monografia di Diaconis su Group Gepresentations in Probability and Statistics , vengono sviluppate tecniche di analisi spettrale per i dati associati a un gruppoCiò estende un'analisi spettrale più classica di dati di serie temporali in cui la naturale è i reali o gli interi in aggiunta. Ha senso prendere come quando i dati sono dati dalle classifiche. La monografia interpreta i coefficienti di Fourier dei dati di classifica. In tal caso il set di dati è rappresentato da una sparsa $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ che mappa le classifiche (date da una permutazione) alla frazione della popolazione che preferisce la classifica.

Sempre nello stesso capitolo, l'analisi di Fourier su gruppi simmetrici e altri viene utilizzata per derivare modelli e test ANOVA.

Una naturale estensione di questo sarebbe la teoria dell'apprendimento statistico per classificare i problemi che traggono beneficio dalle tecniche teoriche di rappresentazione in un modo simile al modo in cui la teoria dell'apprendimento per la classificazione binaria sotto la distribuzione uniforme ha beneficiato dell'analisi di Fourier sul cubo booleano.

— Sasho Nikolov
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Qual è la struttura naturale del gruppo per i problemi di classificazione?

— Suresh Venkat,

1

@Suresh Avevo in mente il gruppo simmetrico, ma il mio ultimo paragrafo è un pensiero più ambizioso di ogni altra cosa. Avevo in mente un problema simile alla giunta sulle classifiche: imparare una funzione che dipende dal relativo ordinamento di pochi elementi di da pochi campioni. Forse le tecniche di Fourier possono fornire limiti di campionamento non banali

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov,

5

La teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico svolge un ruolo chiave nell'approccio della Teoria della complessità geometrica ai limiti inferiori sul moltiplicatore determinante o sulla matrice.

Bürgisser e Ikenmeyer dimostrano un limite inferiore al limite della moltiplicazione della matrice usando la teoria della rappresentazione di . $S_n$
Per come la teoria della rappresentazione di riferisce ai limiti inferiori sul determinante, vedi Teoria della complessità geometrica II: Verso ostacoli espliciti per gli incastri tra varietà di classe e Teoria della complessità geometrica VI: Il riflesso tramite positività $S_n$

— Joshua Grochow
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Tesi di dottorato di Huangs, RAGIONAMENTO PROBABILISTICO E APPRENDIMENTO DELLE PERMUTAZIONI: sfruttamento delle decomposizioni strutturali del gruppo simmetrico . l'applicazione è "un vero scenario di tracciamento multi-persona basato su videocamera".
Inferenza teorica probabilistica di Fourier sulle permutazioni di Huang, Guestrin, Guibas; Journal of Machine Learning Research 10 (2009) 997-1070. vedi ad es. sec 5. Teoria della rappresentazione sul gruppo simmetrico
un altro documento di applicazione multitraccia. Tracciamento multi-oggetto con rappresentazioni del gruppo simmetrico (2007) di Kondor, Howard, Jebara
Distribuzioni di probabilità di apprendimento su permutazioni per mezzo di coefficienti di Fourier, Irurozki, Calvo, Lozano (Dipartimento CS / AI). vedere il secondo 2 La trasformata di Fourier sul gruppo simmetrico

— VZN
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1

Suggerirei di unire questa risposta con le altre referenze sulle permutazioni di apprendimento

— Sasho Nikolov,

ok ... fusione ...

— vzn

vedi anche Interpretazione dello spettro di fase nell'analisi di Fourier dei dati di classifica parziali e Un approccio all'elaborazione del segnale per l'analisi di Fourier dei dati di classifica: l'importanza della fase di Kakarala che sembra estendere molto prima il lavoro di Diaconis

— vzn

-1

Applicazione della teoria della rappresentazione dei gruppi simmetrici per il calcolo dei polinomi cromatici dei grafici di Klin e Pech

— VZN
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applicazione

— ps—

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questo articolo molto citato da Beals, 1997, STOC sembra dimostrare che il calcolo quantistico delle trasformazioni di Fourier su gruppi simmetrici è in BQP, ovvero il tempo polinomiale quantistico

— VZN
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2

di nuovo, questo vale per l'altro documento quantico a cui ti riferisci. la motivazione principale per lo sviluppo della trasformata di Fourier non abeliana era di usarla per risolvere il problema del sottogruppo nascosto sul gruppo simmetrico. l'altro documento che citi mostra che questo approccio non risolve il problema.

— Sasho Nikolov,

btw per essere chiari: cosa intendo con il commento sopra è suggerire di unire questa risposta con l'altra risposta QM e spiegare come i due sono correlati (perché lo sono)

— Sasho Nikolov,

ok Moore et al. citano Beals anche se non è così che ho trovato il documento Beals. potrebbe unire più tardi, ma in questo momento un po 'di pubblico doesnt sembrano come questo Beals ref per qualsiasi motivo (vecchio, superato, ecc ...?)

— VZN

non sono sicuro, penso che sia un riferimento ok. un problema per me è che non spieghi perché è importante essere in grado di calcolare la trasformata di Fourier non abeliana, come è motivata.

— Sasho Nikolov,

1

preferirei che le risposte fossero autonome e fornissero al lettore abbastanza indizi per poter decidere se leggere l'intero documento o meno. Vorrei che la risposta mostrasse qualcosa di più della comprensione superficiale del materiale.

— Sasho Nikolov,

-5

un esempio più antico, ma ancora con ricerche recenti / in corso, alcune di queste teorie si presentano nella matematica del "perfetto shuffle" , visto come un elemento del gruppo simmetrico e che era una scoperta famosa all'epoca. [1] menziona le applicazioni degli algoritmi di elaborazione shuffle perfetta in parallelo e anche la connessione a Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] è più recente. lo shuffle perfetto si presenta nell'elaborazione parallela [3], nella progettazione della memoria e nelle reti di ordinamento.

[1] Matematica dello shuffle perfetto di Diaconis, Graham, Cantor. 1983

[2] Cicli della permutazione shuffle perfetta multiway di Ellis, Fan, Shallit (2002)

[3] Lavorazione parallela con lo shuffle perfetto di Stone, 1971

[4] Rete Omega basata sul mescolamento perfetto

[5] Parallelo e sequenziale permutazione sul posto e mescolamento perfetto mediante involuzioni Yang et al (2012)

— VZN
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La teoria della rappresentazione è usata in questi articoli?

— Sasho Nikolov,

sembra essere un caso speciale

— vzn

2

qual è un caso speciale di cosa? lo shuffle perfetto è una permutazione. sto chiedendo, la teoria della rappresentazione è usata nelle prove in questi articoli? non ne ho trovato nessuno.

— Sasho Nikolov,

3

in caso contrario, ci sono modelli probabilistici di mescolamento (imperfetto) e il mescolamento ripetuto usando uno di questi modelli è una passeggiata casuale su permutazioni. a volte si può analizzare il tempo di miscelazione di una tale camminata casuale usando l'analisi di Fourier sul gruppo simmetrico: Shachar ha dato un esempio per la shuffle di trasposizioni casuali. i tuoi riferimenti sono interessanti, ma non vedo alcuna connessione con la teoria della rappresentazione: i documenti riguardano alcuni (due in [1]) mescolanze deterministiche e i gruppi di permutazione che generano. l'analisi sembra essere combinatoria

— Sasho Nikolov,

anche il mescolamento imperfetto è interessante, ma l'intero punto della risposta è il mescolamento perfetto. sembra che gli stessi risultati di cui sopra potrebbero essere rifusi o provati attraverso la teoria della rappresentazione, oppure stanno usando alcuni aspetti fondamentali di esso senza un riferimento evidente / diretto ad esso. notate che la risposta di Shachar cita Diaconis, stesso autore su uno degli articoli in questa risposta. in altre parole, gli autori di cui sopra potrebbero sicuramente rispondere meglio alla tua domanda, ma la mia aspettativa è che risponderebbero almeno in qualche modo in senso affermativo =) ... inoltre hai appena descritto la teoria della rappresentazione come "magnificamente combinatoria" nella tua domanda!

— vzn,