Esistono teorie intermedie di eta per il calcolo lambda?

Esistono due principali teorie studiate del calcolo lambda, la teoria beta e la sua estensione post-completa, la teoria beta-eta.

Queste due teorie hanno una via di mezzo, una sorta di regola eta intermedia che fornisce una teoria di riscrittura confluente? C'è qualche nozione interessante di estensione parziale a cui corrisponde?

Questa è la seconda domanda che ho posto nel perseguimento di eta intermedia, la precedente è stata l' estensione della teoria beta del calcolo lambda , che ha portato alla domanda su una nozione ortogonale di estensione, che caratterizza le equivalenze invisibili da confluenti regole di riscrittura , che ha cercato di chiarire un rispondere a quella domanda precedente.

Per i calcoli digitati, se si considerano i tipi negativi ( , × , → ), è possibile attivare o disattivare le regole eta praticamente a piacimento senza influire sulla confluenza.$1$$\times$$\to$

Per i tipi positivi (somme e coppie con l'eliminazione del pattern matching), la situazione è molto più complicata. Fondamentalmente, la domanda è se il termine ha una forma di eliminazione a scopo chiuso, che consente ai contesti di interagire in modo complicato con le espansioni di eta. Ad esempio, se ha tipo A × B , allora la sua espansione eta è l e $e$$A \times B$ . Ma per ottenere la teoria equazionale che un teorico di categoria si aspetterebbe, è necessario considerare i contesti C [ - ] e generalizzare l'equazione come C [ e ] ≡ l e $\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$$\mathbb{C}[-]$ (con le restrizioni di scoping previste).$\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

Penso che puoi ancora dimostrare un risultato di confluenza se non permetti le conversioni pendolari. Ma questo è sentito dire - non l'ho mai provato da solo, né ho visto documenti che lo documentano.

Tuttavia, non so davvero nulla del calcolo lambda non tipizzato.

EDIT: Charles chiede riduzioni di eta. Questo è promettente per il tipo di esempio che cerca, perché penso che in generale non saranno abbastanza forti da modellare l'intera teoria dell'uguaglianza, che illustrerò con un semplice esempio che coinvolge i booleani. L'espansione eta per i booleani è . (La riduzione dell'eta è ovviamente nella direzione opposta.)$\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

Ora, considera il termine . Mostrando che questo termine è equivalente a i f ( e , $\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$ deve attraversare un'espansione eta, perché dobbiamo sostituire la e in una delle if-then-elses con t r u e e f a l s e per guidare unariduzione β . $\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$$e$$\mathsf{true}$$\mathsf{false}$$\beta$

Secondo John C. Mitchell in Fondamenti dei linguaggi di programmazione, sia in STLC che nel calcolo lambda non tipizzato, la regola di riduzione pair (proj₁ P, proj₂ P) → Prompe la confluenza quando combinata con la fixriduzione (o, presumo dal guardare la dimostrazione), senza tali condizioni per il caso non tipizzato. Questo è il teorema 4.4.19 (pagina 272).