Sistema di prova della somma dei quadrati

Di recente ho visto diversi articoli su arxiv che si riferiscono a un sistema di prove chiamato somma dei quadrati.

Qualcuno può spiegare cos'è una prova di somma dei quadrati e perché tali prove sono importanti / interessanti?

In che modo sono collegati ad altri sistemi a prova algebrica? Sono una specie di doppio rispetto a Lassere?

— Anonimo
fonte

C'è una panoramica in arxiv.org/abs/1211.1958 . Il sistema SOS di base è definito passando alla pagina 3 (cercare Grigoriev e Vorobjov).

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

@Emil, sembra che il documento contenga le risposte alle domande del post (spiega il sistema, la sua storia e la sua rilevanza per le opere recenti), perché non pubblicare il tuo commento come risposta?

— Kaveh,

@ EmilJeřábek Accetterò il tuo commento se pubblicherai una versione estesa di esso come risposta.

— Anonimo il

OK, l'ho fatto, anche se avrei preferito se qualcuno avesse effettivamente risposto a questi sistemi.

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Risposte:

Il sistema di prova di somma dei quadrati di base, introdotto sotto il nome di confutazioni di Positivstellensatz da Grigoriev e Vorobjov , è un sistema di prova "statico" per mostrare che un insieme di equazioni e disequazioni polinomiali dove , non ha una soluzione comune in : una confutazione di è data dai polinomi ed tali che (Si potrebbe lavorare con qualsiasi campo realmente chiuso al posto di

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$ .) Positivstellensatz di Stengle garantisce che ha una confutazione se e solo se non ha soluzione. La principale misura di complessità qui è il grado di confutazione, che è il massimo dei gradi totali dei polinomi che compaiono sotto i segni di somma in , cioè ed .

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Come al solito con i sistemi algebrici di prova, si può anche considerarlo come un sistema di confutazione per insoddisfacenti formule booleane includendo in gli assiomi per ogni variabile e una traduzione di con disuguaglianze polinomiali. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Maggiori informazioni sulla storia e lo sviluppo dei sistemi SOS sono disponibili su http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Emil Jeřábek sostiene Monica
fonte

C'è un libro standard?

Inoltre, c'è qualche uso della teoria dei modelli qui?

Laserre ha un libro recente sugli aspetti dell'ottimizzazione. "Un'introduzione all'ottimizzazione polinomiale e semi-algebrica" pubblicata dalla Cambridge University Press.

— Chandra Chekuri,

SOS può essere considerato come un sistema di prova in cui le linee sono nella forma dove è un polinomio nelle variabili . $p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

Le regole di inferenza sono:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ dove $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

La differenza principale rispetto ai sistemi precedenti è che abbiamo una regola per . $p(\vec{x})^2\geq 0$

Ci sono buone connessioni con la programmazione semidefinita e algoritmi di approssimazione.

Per ulteriori informazioni, consulta il recente discorso di Albert Atserias al seminario BIRS. Fondamenti teorici della soluzione SAT applicata :

Albert Atserias , Mini-Tutorial sui sistemi semi-algebrici di prova ( diapositive ), 2014

— Kaveh
fonte

Questa formulazione è la stessa di Emil? Il tuo è "dinamico", e quindi consente prove simili a DAG, in cui Emil è "statico", e quindi sembra corrispondere a una versione simile al tuo albero. Quindi, apparentemente sono diversi rispetto alla complessità (ad esempio, grado, dimensioni in termini di numero di monomi e numero di linee). È vero?

— Iddo Tzameret,

@Iddo, penso che tu abbia ragione. Una misura di complessità potrebbe non essere la stessa. Albert spiega nel suo intervento molto brevemente la corrispondenza per la principale misura di complessità interessante se ricordo bene, ma se uno è interessato ad altre misure, allora è necessario essere più attenti nella formulazione.

— Kaveh,

@Kaveh Ho posto due domande correlate se puoi gentilmente aiutare, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818