Limite inferiore per determinante e permanente

Alla luce del recente abisso alla profondità 3 risultato (che tra l'altro produce un profondità 3 circuito aritmetico per ildeterminanten×nsuC), ho le seguenti domande: Grigoriev e Karpinski hannodimostratounlimite inferiore di2Ω(n)per qualsiasi circuito aritmetico di profondità 3 che calcola il determinante din×nmatrici su campi finiti (che immagino valga anche per il permanente). La formula di Ryserper il calcolo del permanente fornisce un circuito aritmetico di profondità 3 di dimensioneO(n22n)=2O$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$ . Ciò dimostra che il risultato è essenzialmente stretto per i circuiti con profondità 3 per i campi permanenti su campi finiti. Ho due domande:$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) Esiste una formula di profondità 3 per il determinante analoga alla formula di Ryser per il permanente?

2) Un limite inferiore sulla dimensione dei circuiti aritmetici che calcolano il polinomio determinante \ textit {sempre} produce un limite inferiore per il polinomio permanente? (Oltre sono gli stessi polinomi).$\mathbb{F}_2$

Sebbene la mia domanda in questo momento riguardi questi polinomi su campi finiti, vorrei anche conoscere lo stato di queste domande su campi arbitrari.

Il permanente è completo per VNP sotto proiezioni p su qualsiasi campo non di caratteristica 2. Ciò fornisce una risposta positiva alla tua seconda domanda. Se questa riduzione fosse lineare, darebbe una risposta positiva alla tua prima domanda, ma credo che rimanga aperta.

In maggior dettaglio, esiste qualche polinomio tale che d e t n ( X ) è una proiezione di p e r m q ( n ) ( Y ) , cioè v'è una certa sostituzione invio ciascuna variabile y i j sia a una variabile x k ℓ o una costante tale che dopo questa sostituzione il permanente q ( n ) × q ( n ) sta calcolando il $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ determinante.$n \times n$

1) Pertanto la formula di Ryser produce una formula di profondità 3 (la profondità non aumenta in base alle proiezioni perché le sostituzioni possono essere eseguite sulle porte di ingresso) di dimensione per il determinante. AGGIORNAMENTO : Come sottolinea @Ramprasad nei commenti, questo dà qualcosa di non banale se q ( n ) = o ( n log n ) , poiché esiste una formula di profondità 2 banale di dimensione n ⋅ n ! = 2 O ( n registro n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$per det. Sono con Ramprasad in quanto la migliore che conosco è la riduzione tramite ABP, che produce .$q(n)=O(n^3)$

2) Se il permanente può essere calcolato - di nuovo, su un campo di caratteristica non 2 - mediante un circuito di dimensione s ( m ) , allora il determinante n × n può essere calcolato da un circuito di dimensione s ( q ( n ) ) . Quindi un limite inferiore di b ( n ) sulla dimensione del circuito per d e t n produce un limite inferiore di b ( q - 1 ( n ) ) sulla dimensione del circuito per il permanente (cioè$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ inversa, non 1 / q ( n ) ). Il suddetto q ( n ) = O ( n 3 ) produce un b ( n 1 / 3 ) perm limite inferiore da un b ( n ) DET limite inferiore.$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

È molto probabile che il determinante sia, in un certo senso, più difficile del permanente. Sono entrambi polinomi, il Grado Waring (somme di n poteri di forme lineari) del permanente è circa 4 ^ n, il Grado Chow (somme di prodotti di forme lineari) è circa 2 ^ n. Chiaramente, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Per il determinante, quei numeri sono solo limiti inferiori. D'altra parte, ho dimostrato qualche tempo fa che il rango Waring del determinante è delimitato da (n + 1)! e questo potrebbe essere vicino alla verità.