Qual è il logaritmo o l'operazione root nello spazio dei tipi?

Recentemente ho letto Le due dualità del calcolo: tipi negativi e frazionari . Il documento si espande su tipi di somma e tipi di prodotto, dando semantica ai tipi a - be a/b.

A differenza dell'aggiunta e della moltiplicazione, non ci sono una ma due inversioni di esponenziazione, logaritmi e radicamento. Se i tipi di funzione (a → b) sono esponenziali di tipo teorico, dato il tipo a → b(o b^a) che cosa significa avere il tipo logb(c)o il tipo a√c?

Ha senso estendere i logaritmi e le radici ai tipi?

In tal caso, c'è stato del lavoro in questo settore e quali sono alcune buone indicazioni su come comprendere le ripercussioni?

Ho provato a cercare informazioni su questo tramite la logica, sperando che la corrispondenza Curry-Howard potesse aiutarmi, ma senza risultati.

— efrey
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Risposte:

Un tipo ha un logaritmo a base di esattamente quando . Cioè, può essere visto come un contenitore di elementi in posizioni definite da . In effetti, si tratta di una questione di chiedere a quale potere dobbiamo alzare per ottenere . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

Ha senso lavoro con dove è un funtore, quando esiste il logaritmo, cioè $\mathop{log}F$ $F$ . Si noti che se $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ , quindi abbiamo sicuramente $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ , quindi il contenitore non ci dice nulla di interessante oltre ai suoi elementi: i contenitori con una scelta di forme non hanno logaritmi. $F\:1\cong 1$

Le leggi familiari dei logaritmi hanno senso quando si pensa in termini di set di posizioni

\begin{array}{rcll} l o g (K 1) & = & 0 & no positions in empty container \\ l o g I & = & 1 & container for one, one position \\ l o g (F \times G) & = & l o g F + l o g G & pair of containers, choice of positions \\ l o g (F \cdot G) & = & l o g F \times l o g G & container of containers, pair of positions \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

Abbiamo anche guadagnare dove $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ sotto il raccoglitore. Cioè, ilpercorsodi ciascun elemento in alcuni codata è definito induttivamente iterando il logaritmo. Per esempio, $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

Dato che la derivata ci dice il tipo in contesti a un buco e il logaritmo ci dice posizioni, dovremmo aspettarci una connessione, e infatti

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

Laddove non è possibile scegliere la forma, una posizione è uguale a un contesto a un foro con gli elementi cancellati. Più in generale, rappresenta sempre la scelta di unaforma insieme a una posizione dell'elemento all'interno di quella forma. $\partial F\:1$ $F$

Temo di avere poco da dire sulle radici, ma si potrebbe partire da una definizione simile e seguire il proprio naso. Per ulteriori usi dei logaritmi di tipi, controlla "Funzioni memo di Ralf Hinze, politipicamente!". Devo correre ...

— pigworker
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La risposta dello stesso Da Man. Benvenuto Conor!

— Andrej Bauer,

Hmm, mi interessa vedere quali sono i tipi di radice, in quanto richiederebbero tipi con un numero immaginario di abitanti. A meno che non mi sbagli. Accetterò la tua risposta, ma se avessi il tempo di approfondire le radici sarebbe molto apprezzato.

— efrey,

Questo può essere in qualche modo correlato alla serie Taylor di ln (1 + x)?

— yatima2975,

Con logaritmi ed esponenziali, mi chiedo ... di cosa abbiamo bisogno per costruire un oggetto Napier ? (ad esempio l'oggetto apparentemente unico in emodo tale ∂e = e)

— Rhymoid

Non conosco alcun lavoro che persegue questa linea, ma alcuni momenti pensandoci mi hanno portato a questa ipotesi: la "radice" del tipo esponenziale non sarebbe solo il codice, e il "logaritmo" dell'esponenziale solo il dominio?

— Marc Hamann
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Bene, quindi penso che la tua intuizione sia buona ma la tua conclusione è spenta. L'operazione root e l'operazione logaritmica sono ciò che ottieni quando "inverti" rispettivamente il codomain o il dominio, non i (co) domini stessi. La domanda è: cosa intendiamo per inversione e qual è l'operazione di tipo binario che produce?

— efrey,

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

Spiacente, non sono stato del tutto chiaro nella mia terminologia. Non intendo chiedere "qual è la radice, qual è il risultato dell'applicazione della funzione logaritmo". Mi chiedo quale sia l'operazione di rooting. Qual è l'operazione di ricerca del logaritmo. Se si →tratta di expenentiation, quali sono due tipi sotto l'operazione di root. Quali sono due tipi nell'operazione logaritmo. Ciò che intendo per "invertire l'argomento" è qualcosa che non c'è tempo per spiegare qui. Chiarirò la mia domanda, grazie.

— efrey,

Il documento che ho collegato fornisce una semantica per il tipo a - be il tipo a / b. Non mi preoccupo del risultato della riduzione del logaritmo e della radice delle operazioni, ma della comprensione della loro semantica come operatori di tipo binario.

— efrey,