Perché la congettura del log-rank usa il rank over the reals?

Nella complessità della comunicazione, la congettura log-rank afferma che

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

Dove è la complessità della comunicazione di e è il rango di (come una matrice) rispetto ai reali. $cc(M)$ $M(x,y)$ $rk(M)$ $M$

Tuttavia, quando stai semplicemente usando il metodo rank per abbassare il limite puoi usare su qualsiasi campo che sia conveniente. Perché la congettura del log-rank si limita a rk sui reali? La congettura è stata risolta per su campi con caratteristiche diverse da zero? In caso contrario, è interessante o c'è qualcosa di speciale in over ? $cc(M)$ $rk$ $rk$ $rk$ $\mathbb{R}$

— Artem Kaznatcheev
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A proposito, credo che dovresti limitare

M

$M$ a essere binario, altrimenti puoi creare banali controesempi.

— Sasho Nikolov il

@SashoNikolov Che cosa si intende per controesempi banali se

M

$M$ non è

0 / 1

$0/1$ (credo che si intendo più di numeri reali)?

— T ....

Ad esempio il problema "indovina il mio numero", ovvero Alice ha un numero in

e Bob deve emetterlo. È facile vedere la complessità della comunicazione è

ma il rango della matrice è

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov Puoi definire con precisione il mio numero? Non riesco a visualizzare la matrice caratteristica. Alice ha

e Bob ha

, quindi qual è la funzione

da cui è definita la

di grado

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

La funzione è

dove

sono

vettori -bit. Se la definizione di complessità della comunicazione richiede che il valore di

sia interamente determinato dalla trascrizione del protocollo (questa è la definizione in Kushilevitz-Nisan), allora chiaramente la complessità è

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov,

La congettura fallisce su . Cerca , e . La complessità della comunicazione è $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ , ma il rango di su è , per la linearità del prodotto interno. $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
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