Una versione combinatoria per la congettura polinomiale di Hirsch

Considera famiglie disgiunte di sottoinsiemi di {1,2, ..., n}, . $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

Supporre che

(*)

Per ogni ed ogni , e , c'è contenente . $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

La domanda di base è:

Quanto può essere grande ???

Ciò che è noto

Il limite superiore più noto è quasi polinomiale . $t \le n^{\log n+1}$

Il limite inferiore più noto è (fino a un fattore logaritmico) quadratico.

Questa impostazione astratta è tratta dall'articolo Diameter of Polyhedra: The Limits of Abstraction di Friedrich Eisenbrand, Nicolai Hähnle, Sasha Razborov e Thomas Rothvoss . Il limite inferiore quadratico e una prova del limite superiore possono essere trovati nel loro documento.

Motivazione

Ogni limite superiore si applicherà al diametro dei grafici dei polipetti d-dimensionali con n facce. Per vedere questo associato ad ogni vertice l'insieme delle sfaccettature che lo contengono. Quindi partendo da un vertice sia l'insieme corrispondente ai vertici del politopo della distanza da . $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

Di Più

Questo problema è l'oggetto di polymath3 . Ma ho pensato che potesse essere utile presentarlo qui e su MO nonostante sia un problema aperto. Se il progetto porterà a specifici sottoproblemi, io (o altri) potrei provare a chiedere anche a loro.

(Aggiornamento; 5 ottobre :) Un problema specifico che è di particolare interesse è limitare l'attenzione alle serie di dimensioni d. Sia f (d, n) il valore massimo di t quando tutte le serie in tutte le famiglie hanno dimensione d. Sia f * (d, n) il valore massimo di t quando consentiamo multiset di dimensione d. Comprendere f * (3, n) può essere cruciale.

Problema: f * (3, n) si comporta come 3n o come 4n?

$2^{d-1}$

— Gil Kalai
fonte

Congettura di Hirsch, wikipedia

— vzn

sembra che questa congettura sarebbe molto verificabile con e forse anche suscettibile a un approccio computazionale / empirico / sperimentale usando un metodo monte carlo. qualcuno l'ha provato?

— vzn,

per quanto riguarda il tuo nuovo motivo di ricompensa "le risposte attuali sono obsolete e richiedono una revisione a causa delle recenti modifiche" sembra che tu abbia in mente qualcosa di particolare ...? questo articolo del 2013 Recenti progressi sul diametro dei poliedri e dei complessi simpatici di Santos afferma che la congettura di Hirsch è "ora smentita".

— vzn,

Caro vzn, questa era una specie di scherzo: qualsiasi affermazione sulle risposte attuali è corretta dato che non ci sono risposte.

— Gil Kalai,

$t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ dai suoi primi valori. Inoltre non abbiamo studiato in dettaglio tutti i commenti dei thread precedenti, quindi alcuni di questi potrebbero già essere noti - sostanzialmente ci siamo divertiti a rendere il nostro codice veloce e volevamo pubblicare i nostri risultati da qualche parte, se avessi un ambiente LaTeX funzionante avrei mettilo su ArXiV.

Codice (non è esattamente il codice di produzione ...): http://pastebin.com/bSetW8JS . Valori:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ . Il conseguente algoritmo di programmazione dinamica è quindi evidente. Il numero di classi di equivalenza (insieme al tempo impiegato dalle due operazioni precedenti) dà quindi un limite al tempo di esecuzione dell'algoritmo di programmazione dinamica evidente.

$A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ può comportare risparmi più drastici.

— Alex ten Brink
fonte