Problemi di ottimizzazione con una buona caratterizzazione, ma nessun algoritmo del tempo polinomiale

Prendi in considerazione i problemi di ottimizzazione del seguente modulo. Sia $f(x)$ una funzione calcolabile nel tempo polinomiale che mappa una stringa $x$ in un numero razionale. Il problema dell'ottimizzazione è questo: qual è il valore massimo di $f(x)$ su $n$ -bit string $x$ ?

$g$xnymn

Numerosi problemi di ottimizzazione naturali e importanti presentano una tale caratterizzazione minimax. Alcuni esempi (i teoremi su cui si basano le caratterizzazioni sono mostrati tra parentesi):

Programmazione lineare (LP Duality Thm), Portata massima (Max Flow Min Cut Thm), Max Bipartite Matching (Konig-Hall Thm), Max Non-Bipartite Matching (Tutte's Thm, Tutte-Berge formula), Max Disjoint Arborescences nel grafico diretto ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Imballaggio Max Spanning Tree nel grafico non orientato (Tutte's Tree Packing Thm), Min Covering by Forests (Nash-Williams Thm), Max Directed Cut Packing (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Matroid Intersection (Matroid Intersection Thm), Max Disjoint Paths (Menger's Thm), Max Antichain in Set parzialmente ordinato (Dilworth Thm) e molti altri.

In tutti questi esempi, è disponibile anche un algoritmo a tempo polinomiale per trovare l'ottimale. La mia domanda:

C'è qualche problema di ottimizzazione con una caratterizzazione minimax, per la quale finora non è stato trovato nessun algoritmo polinomiale?

Nota: la programmazione lineare era in questo stato da circa 30 anni!

In un certo senso tecnico ti stai chiedendo se . Supponiamo che , quindi esista poli-tempo e modo che iff e iff . Questo può essere rifuso come caratterizzazione minmax di f_x se e altrimenti; se e altrimenti. Ora infatti abbiamo .L ∈ N P ∩ c o N P F G x ∈ L ∃ y : F ( x , y ) x ∉ L ∃ y : G ( x , y ) f x ( y ) = 1 F ( x , y ) f x ( $P = NP \cap coNP$$L \in NP \cap coNP$$F$$G$$x \in L$$\exists y: F(x,y)$$x \not\in L$$\exists y: G(x,y)$$f_x(y) = 1$$F(x,y)$g x ( y ) = 0 G ( x , y ) g x ( y ) = 1 m a x y f x ( y ) = m i n y g x ( y $f_x(y) = 0$$g_x(y) = 0$$G(x,y)$$g_x(y) = 1$$max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Quindi, in questo senso, qualsiasi problema noto per essere in ma non noto per essere in può essere trasformato in una risposta alla tua domanda. Ad esempio Factoring (diciamo, la versione della decisione se l' bit del fattore più grande è 1).P $NP \cap coNP$$P$$i$

Seymour e Thomas hanno mostrato una caratterizzazione min-max della larghezza degli alberi. Tuttavia, la larghezza dell'albero è NP-difficile. Questo, tuttavia, non è proprio il tipo di caratterizzazione richiesta, poiché la doppia funzione non è una funzione calcolabile a tempo polinomiale di un breve certificato. Questo è probabilmente inevitabile per i problemi completi di NP, perché altrimenti avremmo un problema NP-completo in coNP, che implica un collasso NP = coNP, e lo considererei piuttosto scioccante.$g$

La treewidth di un grafo è uguale alla più piccola larghezza minima di un albero decomposizione di G . Una decomposizione dell'albero di un grafico G è un albero T tale che ciascun vertice x di T è etichettato da un insieme S ( x ) di vertici di G con la proprietà:$G$$G$$G$$T$$x$$T$$S(x)$$G$

1. Per tutti , | S ( x ) | ≤ k + 1 .$x \in V(T)$$|S(x)| \leq k+1$
2. L'unione di tutte rappresenta l'insieme dei vertici di G .$S(x)$$G$
3. Per ogni , il sottografo di T indotta da tutti x per cui u ∈ S ( x ) è collegato.$u \in V(G)$$T$$x$$u \in S(x)$
4. Ogni fronte è un sottoinsieme di alcuni S ( x ) per x ∈ V ( T ) .$(u, v) \in E(G)$$S(x)$$x \in V(T)$

Seymour e Thomas hanno mostrato che la larghezza degli alberi è uguale al numero di rovi di : il massimo k tale che esiste una raccolta di sottografi collegati di G in modo che:$G$$k$$G$

1. Ciascuno dei due sottografi si intersecano o sono collegati da un bordo.
2. Nessuna serie di vertici di G colpisce tutti i sottografi.$k$$G$

Una tale raccolta di sottografi è chiamata un rovo di ordine $k$

Notare come "il numero di rovi sia almeno " è un'istruzione ∃ ∀ , con entrambi i quantificatori su insiemi esponenzialmente grandi. Quindi non suggerisce un certificato facile da verificare (e se ce ne fosse uno che sarebbe davvero una grande novità, come ho detto sopra). Per rendere le cose ancora peggio, Grohe e Marx hanno mostrato che per ogni k è un grafico della treewidth k tale che ogni rovo dell'ordine almeno k 1 / 2 + ε deve consistere di molte esponenziale sottografi. Essi mostrano anche che esistono rovi di ordine k 1 / 2 / O ( log $k$$\exists\forall$$k$$k$$k^{1/2 + \epsilon}$ di dimensioni polinomiali.$k^{1/2}/O(\log^2 k)$

I giochi di parità, i giochi a rendimento medio, i giochi scontati e i giochi stocastici semplici rientrano in questa categoria.

Tutti sono infiniti giochi a somma zero per due giocatori giocati su grafici, in cui i giocatori controllano i vertici e scelgono dove dovrebbe andare un token successivo. Tutti hanno equilibri nelle strategie posizionali senza memoria, il che significa che ogni giocatore sceglie un vantaggio ad ogni vertice di scelta in modo deterministico e indipendentemente dalla storia del gioco. Data una strategia di un giocatore, la miglior risposta dell'altro giocatore può essere calcolata in un tempo polinomiale e la relazione min-max che ti viene richiesta per il "valore" del gioco.

Le varianti di decisione naturale di questi problemi sono in NP e co-NP (in effetti UP e co-UP) e i problemi di funzione, per trovare un equilibrio, si trovano in PLS e PPAD.

Gli algoritmi con il tempo di esecuzione più noto sono sub esponenziali, ma super polinomiali (ad es. $O(n^\sqrt{n})$$n$

Vedi, ad es.

David S. Johnson. 2007. La colonna della completezza NP: ricerca di aghi nei covoni di fieno. ACM Trans. Algorithms 3, 2, Article 24 (May 2007). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247