Complessità comunicativa deterministica rispetto al numero di partizione

Sfondo:

Si consideri il consueto modello a due parti di complessità comunicazione in cui Alice e Bob sono date stringhe -bit e e devono calcolare una certa funzione booleana , dove $n$ $x$ $y$ $f(x,y)$ . $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Definiamo le seguenti quantità:

(complessità deterministica della comunicazione di ): il numero minimo di bit che Alice e Bob devono comunicare per calcolare deterministico. $D(f)$ $f$ $f(x,y)$

(il numero di partizione di ): il logaritmo (base 2) del numero più piccolo di rettangoli monocromatici in una partizione (o una copertina disgiunta) di . $Pn(f)$ $f$ $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

Un rettangolo monocromatica in è un sottoinsieme tale che assume lo stesso valore (cioè, è monocromatico) su tutti gli elementi di . $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ $R \times C$ $f$ $R \times C$

Si noti inoltre che il numero di partizione è diverso dal "numero di partizione del protocollo", che era l'oggetto di questa domanda .

Vedi il testo di Kushilevitz e Nisan per maggiori informazioni. Nella loro notazione, ciò che ho definito è . $Pn(f)$ $\log_2 C^D(f)$

Nota : queste definizioni sono facilmente generalizzabili a funzioni non booleane , dove l'output di è un insieme più ampio. $f$ $f$

Risultati noti:

È noto che è un limite inferiore di , cioè per tutti (booleani o non booleani) , . In effetti, la maggior parte delle tecniche con limite inferiore (o forse tutte?) Per $Pn(f)$ $D(f)$ $f$ $Pn(f) \leq D(f)$ $D(f)$ realtà limite inferiore . (Qualcuno può confermare che questo è vero per tutte le tecniche di limite inferiore?) $Pn(f)$

È anche noto che questo limite è al massimo quadraticamente sciolto (per funzioni booleane o non booleane), ovvero . Per riassumere, sappiamo quanto segue: $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

Si ipotizza che . (Questo è il problema aperto 2.10 nel testo di testo di Kushilevitz e Nisan.) Tuttavia, per quanto ne sappia, la separazione più nota tra questi due per le funzioni booleane è solo per un fattore moltiplicativo di 2, come mostrato in " Le congetture sull'array lineare nella complessità della comunicazione sono false "di Eyal Kushilevitz, Nathan Linial e Rafail Ostrovsky. $Pn(f) = \Theta(D(f))$

Più precisamente, esibiscono una famiglia infinita di funzioni booleane , tale che . $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

Domanda:

Qual è la separazione più nota tra e per le funzioni non booleane? È ancora la separazione del fattore 2 di cui sopra? $Pn(f)$ $D(f)$

Aggiunto in v2 : poiché non ho ricevuto risposta da una settimana, sono anche felice di ascoltare risposte parziali, congetture, sentito dire, prove aneddotiche, ecc.

lower-bounds communication-complexity

— Robin Kothari
fonte

Sei sicuro di

? Il Lemma 3.8 nel libro di Jukna dimostra solo

, e lo stato KN solo

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— András Salamon,

@ AndrásSalamon: non sono stato troppo attento affermando il limite superiore poiché sto cercando funzioni più vicine al limite inferiore, ma penso che

sia realizzabile. Vedi Teorema 2.2 in "Limiti inferiori nella complessità della comunicazione" di Troy Lee e Adi Shraibman.

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— Robin Kothari,

Poiché

, dove

è il numero più piccolo di foglie in un albero del protocollo di comunicazione per

, potrebbe essere possibile trovare un limite inferiore per

che non è tecnicamente un limite inferiore per

. Tuttavia, poiché

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

, un tale limite inferiore stabilirà essenzialmente una stretta approssimazione al valore preciso di

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— András Salamon,

Vedi anche la relativa risposta cstheory.stackexchange.com/a/3352/109

— András Salamon

Risposte:

Questa domanda è stata appena risolta! Come ho già detto, si sapeva che

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$ ,

ma era un grosso problema aperto mostrare che o che esiste una funzione per la quale $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$ .

Qualche giorno fa questo è stato risolto da Mika Göös, Toniann Pitassi, Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ). Mostrano che esiste una funzione che soddisfa $f$

. $Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

Mostrano anche un risultato ottimale per la versione unilaterale di , che indicheremo con , in cui è necessario coprire solo gli ingressi 1 con rettangoli. soddisfa $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

, $Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

e mostrano che questa è la migliore relazione possibile tra le due misure, poiché esibiscono una funzione $f$ che soddisfa

. $Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

— Robin Kothari
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Questo avvolge bene la domanda!

— András Salamon,

Osserva che i limiti inferiori di sono strettamente correlati a tutte le tecniche esistenti del limite inferiore. Per le funzioni booleane questo sembra essere vero, fintanto che la congettura log-rank è vera. Tuttavia, può essere esponenzialmente più grande del limite impostato per gli sciocchi. $Pn(f)$ $Pn(f)$

Non mi è chiaro quanto e possano differire nel caso non booleano. $Pn(f)$ $D(f)$

Nel resto faccio questi commenti più precisi.

KN (Kushilevitz e Nisan nel loro libro di testo del 1997) delineano le tre tecniche di base per le funzioni booleane: dimensione di un insieme sciocco, dimensione di un rettangolo monocromatico e rango della matrice di comunicazione.

In primo luogo, insiemi sciocchi. Un insieme ingannare è monocromatica: c'è qualche tale che per ogni . Sono quindi necessari alcuni patch finali per tener conto dell'altro colore. Questo passaggio aggiuntivo può essere evitato. Sia una funzione. Una coppia di elementi distinti $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ èdebolmente ingannevoleper se implica che o $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ . Un set è uninsieme di falli deboliper se ogni coppia distinta di elementi di è debolmente falli. KN afferma in modo implicito, dopo la prova di 1,20, che la dimensione del registro di una serie di sciocchi deboli è un limite inferiore per la complessità della comunicazione. $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ $f$ $S$

Un set di figuracce debole più grande seleziona un elemento rappresentativo da ciascun rettangolo monocromatico in una copertura di set disgiunta più piccola. La dimensione di un più grande insensato debole è quindi al massimo pari al (esponente del) numero di partizione. Sfortunatamente il limite fornito dai set da ingannare è spesso debole. La dimostrazione di KN 1.20 mostra che qualsiasi funzione che associa ogni elemento di un debole imbroglio imposta su un rettangolo monocromatico contenente quell'elemento è iniettivo. Tuttavia, ci possono essere molti rettangoli monocromatici in una più piccola copertina disgiunta che non appaiono nell'immagine di , con ogni elemento di , e quindi non possono semplicemente essere aggiunti a $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ indebolisce debolmente con alcuni ma non tutti gli elementi di $S$ $S$ . Infatti Dietzfelbinger, Hromkovič e Schnitger mostrato (doi: 10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X ) che per ogni abbastanza grande , almeno di tutte le funzioni booleane su variabili hanno ma hanno insiemi (deboli) ingannevoli di dimensioni del registro . Quindi il registro delle dimensioni di un insieme più grande (debole) può essere esponenzialmente più piccolo della complessità della comunicazione. $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

Per il rango, stabilire una stretta corrispondenza tra il rango della matrice della funzione e il suo numero di partizione stabilirebbe una forma della congettura log-rank (a seconda della tenuta della corrispondenza). Ad esempio, se esiste una costante tale che per ogni funzione booleana , quindi $a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ e quindi una specie di congettura di rango logico vale per le famiglie di funzioni per le quali fine aumenta con , con esponente per qualsiasi ottenibile per sufficientemente grande . (Ricordiamo che la congettura di rango di registro di Lovász-Saks dice che esiste una costante tale che $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ $c>0$ per ogni funzione booleana ; qui è il rango della matrice di comunicazione di rispetto ai reali.) $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

Allo stesso modo, se esiste solo un rettangolo monocromatico abbastanza grande insieme a molti piccoli rettangoli, il numero di partizione fornisce un limite più forte della dimensione del registro di un rettangolo monocromatico più grande. Tuttavia, la congettura di rango di registro equivale anche a una congettura delle dimensioni di un rettangolo monocromatico più grande (Nisan e Wigderson 1995, doi: 10.1007 / BF01192527 , Teorema 2). Pertanto, l'utilizzo dei rettangoli monocromatici non è attualmente noto come "uguale a" utilizzando il numero di partizione, ma sono strettamente correlati se la congettura del log-rank è valida.

In sintesi, la dimensione del registro di un set di errori più grande può essere esponenzialmente inferiore al numero di partizione. Potrebbero esserci degli spazi tra le altre tecniche del limite inferiore e il numero di partizione, ma se la congettura del log-rank tiene, questi spazi sono piccoli.

Usando nozioni di dimensione che estendono quella usuale (di cardinalità), la dimensione di qualsiasi rettangolo monocromatico può essere usata per generalizzare insiemi di sciocchi e per limitare la complessità della comunicazione (vedi KN 1.24). Non sono sicuro di quanto la "dimensione" più grande generalizzata di qualsiasi rettangolo monocromatico debba essere alla complessità della comunicazione.

Contrariamente alla discussione sopra per le funzioni booleane, per le funzioni non booleane il divario tra e può essere esponenziale. KN 2.23 fornisce un esempio: sia la funzione che restituisce la dimensione delle intersezioni degli insiemi rappresentati dai due vettori delle caratteristiche di ingresso. Per questa funzione, il log-rank è . Ora l'insieme di tutte le coppie di insiemi non intersecanti ha elementi. Per quanto ne so, non ci possono essere rettangoli monocromatici più grandi di questo set. Se questo è corretto, quindi $D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ , quindi per questa funzione, , e la dimensione del log di un rettangolo monocromatico più grande sono tutti all'interno di un fattore al massimo uno dall'altro, pur essendo esponenzialmente distanti dal rango di registro. Quindi piccole separazioni tra e $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ può essere possibile nel caso non booleano, ma non sono collegati in modo ovvio al log-rank della matrice di . Non sono a conoscenza di alcun lavoro pubblicato che discuti su come queste misure siano correlate nel caso non booleano. $f$

Infine, Dietzfelbinger et al. ha anche definito un insieme di insensati estesi legato, generalizzando la condizione di imbroglio da coppie (sottoinsiemi "ordine 1") a sottoinsiemi più grandi di elementi monocromatici; la condizione ingannevole estesa richiede che la sottostruttura attraversata dagli elementi monocromatici non sia monocromatica. Non è chiaro come questo si comporti all'aumentare dell'ordine dei sottoinsiemi monocromatici, poiché si deve dividere la dimensione della follia estesa impostata dall'ordine e considerare il valore più grande su tutti gli ordini. Tuttavia, questa nozione finisce per essere un limite inferiore vicino a . $Pn(f)$

— András Salamon
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Grazie per aver condiviso le tue osservazioni. A proposito della prima affermazione, penso che il fatto che

sia correlato a tutte le tecniche di limite inferiore per

sia vero indipendentemente dalla congettura del rango log. Per quanto ne so, ogni tecnica con limite inferiore per

è in realtà una tecnica con limite inferiore per

, incluso il limite inferiore del registro.

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

— Robin Kothari,

@Robin: mi scuso per la mia mancanza di chiarezza; le frasi chiave sono "strettamente correlate" e "quanto ... può differire". Sto prendendo in considerazione le disuguaglianze note come

, dove

è il numero di voci in un monocromatico più grande rettangolo nella matrice di

e il dominio di

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$ . Il mio commento riguarda quanto sono vicine queste disuguaglianze, ad esempio se evitano le lacune esponenziali e perché la dimensione insensata del set ingannevole è più utile della solita nozione (la versione monocromatica può essere esponenzialmente più piccola del limite del rango).

— András Salamon,