Numero di partizione del protocollo e complessità della comunicazione deterministica

Oltre alla complessità (deterministica) della comunicazione di una relazione R , un'altra misura di base per la quantità di comunicazione necessaria è il numero di partizione del protocollo p p ( R ) . La relazione tra queste due misure è nota fino a un fattore costante. La monografia di Kushilevitz e Nisan (1997) dà$cc(R)$$R$ $pp(R)$

Per quanto riguarda la seconda disuguaglianza, è facile dare (una famiglia infinita di) relazioni con log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R ) .$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

Per quanto riguarda la prima disuguaglianza, Doerr (1999) ha mostrato che possiamo sostituire il fattore nel primo limite con c = 2.223 . Di quanto può essere migliorato il primo limite, se non del tutto? $c=3$$c=2.223$

Motivazione aggiuntiva dalla complessità descrittiva: il miglioramento della costante comporterà un miglioramento del limite inferiore della dimensione minima delle espressioni regolari equivalente a un determinato DFA che descrive un linguaggio finito, vedere Gruber e Johannsen (2008). $2.223$

Sebbene non direttamente collegati a questa domanda, Kushilevitz, Linial e Ostrovsky (1999) hanno dato relazioni con c c ( R ) / ( 2 - o ( 1 ) ) ≥ log 2 ( r p ( R ) ) , dove r p ( R ) è il numero di partizione del rettangolo .$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDIT: Notare che la domanda sopra è equivalente alla seguente domanda nella complessità del circuito booleano: Qual è la costante ottimale tale che ogni formula booleana DeMorgan di dimensione foglia L può essere trasformata in una formula equivalente di profondità al massimo c log 2 L ?$c$$c \log_2L$

Riferimenti :

• Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam: complessità della comunicazione. Cambridge University Press, 1997.
• Kushilevitz, Eyal; Linial, Nathan; Ostrovsky, Rafail: la congettura della matrice lineare nella complessità della comunicazione è falsa, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
• Doerr, Benjamin: complessità della comunicazione e numero di partizione del protocollo, relazione tecnica 99-28, seminari sull'università di Berichtsreihe Matichatischen, 1999.
• Gruber, Hermann; Johannsen, Jan: limiti inferiori ottimali sulla dimensione delle espressioni regolari usando la complessità della comunicazione. In: Fondamenti di Software Science and Computing Structures 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Springer.

$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

Indiretto supponiamo che esista una R per la quale ciò non è vero e prendiamo la R con la pp (R) più piccola possibile che viola la disuguaglianza. Fondamentalmente dobbiamo dimostrare che usando due bit, possiamo dimezzare il numero di foglie in tutti e quattro i risultati dell'albero del protocollo, quindi abbiamo finito usando l'induzione.

$\times$$\times$$\times$$\times$

Ora sappiamo che L + R> 1/2, L, R <1/2 e senza perdita di generalità possiamo supporre che L sia al massimo R. Sappiamo anche D = A + B + C <1/2. Ne segue che 2L + A + B <1, da cui sappiamo che L + A <1/2 o L + B <1/2, questi saranno i nostri due casi.

Caso L + A <1/2: il primo Bob dice se il suo input appartiene o meno a Y0. In caso contrario, ci rimangono al massimo D <1/2 foglie. In tal caso, Alice dice se il suo input appartiene o meno a XR. Altrimenti, ci rimangono al massimo L + A <1/2 foglie. In tal caso, ci restano R <1/2 foglie.

Caso L + B <1/2: prima Alice dice se il suo input appartiene o meno a XR. Se lo fa, allora Bob dice se appartiene a Y0 oppure no, a seconda di ciò abbiamo delle foglie R o B rimanenti. Se l'input di Alice non è in XR, allora Alice dice se il suo input è in XL o no. Se lo è, allora abbiamo L + B <1/2 foglie rimanenti. In caso contrario, abbiamo al massimo D <1/2 foglie rimanenti.

In tutti i casi abbiamo finito. Fatemi sapere cosa ne pensate.

$c\le 2$$c \le 1.73$

Riferimenti

Stasys Jukna. Complessità delle funzioni booleane: progressi e frontiere. Springer, 2012.

VM Khrapchenko. Su una relazione tra la complessità e la profondità. Metody Diskretnogo Analiza in Synthezis of Control Systems 32: 76–94, 1978.