Teoria dei tipi di omotopia e teoremi di incompletezza di Gödel

I teoremi di incompletezza di Kurt Gödel stabiliscono i "limiti intrinseci di tutti tranne i sistemi assiomatici più banali in grado di fare aritmetica".

La teoria dei tipi di omotopia fornisce una base alternativa per la matematica, una base univalente basata su tipi induttivi superiori e l' assioma dell'univalenza . Il libro HoTT spiega che i tipi sono groupoid più alti, le funzioni sono funzioni, le famiglie di tipi sono ﬁ gazioni, ecc.

Il recente articolo "Matematica formalmente verificata" in CACM di Jeremy Avigad e John Harrison discute di HoTT rispetto alla matematica formalmente verificata e alla dimostrazione automatica del teorema.

I teoremi di incompletezza di Gödel si applicano a HoTT?

E se lo fanno,

la teoria del tipo di omotopia è compromessa dal teorema di incompletezza di Gödel (nel contesto della matematica formalmente verificata)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— occhio di Falco
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Domanda interessante. C'è stato qualcosa che hai letto che ti ha suggerito che l'HTT non soffre di Godel Incompleteness? (Notare che i precedenti tentativi di fondazione - come la teoria degli insiemi - soffrono anche di Incompletezza di Godel ...)

— Joshua Grochow,

HoTT "soffre" dell'incompletezza di Gödel, naturalmente, poiché ha un linguaggio e regole di inferenza computabilmente enumerabili, e in questo possiamo formalizzare l'aritmetica. Gli autori del libro HoTT erano perfettamente consapevoli della sua incompletezza. (In effetti, questo è abbastanza ovvio, specialmente quando metà degli autori sono logici di qualche tipo).

Ma l'incompletezza "compromette" HoTT? Non più di qualsiasi altro sistema formale, e penso che l'intera questione sia un po 'fuorviante. Fammi provare un'analogia. Supponiamo di avere un'auto che non può portarti ovunque sul pianeta. Ad esempio, non può arrampicarsi verticalmente su un muro. L'auto è "compromessa"? Certo, non può portarti in cima all'Empire State Building. L'auto è inutile? Lungi da ciò, può portarti troppi altri posti interessanti. Per non parlare del fatto che l'Empire State Building ha ascensori.

— Andrej Bauer
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Non credo che l'analogia con la macchina funzioni abbastanza dato che la domanda non è tanto "La macchina è inutile?" ma "L'auto può servire come trasporto di fondazione?" Ma, in ogni caso, il punto fondamentale è che qualsiasi sistema che sarà il fondamento della matematica è necessariamente incompleto.

— David Richerby,

Il mio punto era che le persone non si aspettano che esista una macchina di trasporto perfetta, e neppure si preoccupano che non ce ne sia una, ma in qualche modo si preoccupano del fatto che nessuna (ragionevole) base di matematica è completa.

— Andrej Bauer,