Determinare ciò che può essere ottenuto mediante una permutazione di elementi di un gruppo non comunicativo

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Fissare un gruppo finito . Sono interessato al seguente problema decisionale: l'input sono alcuni elementi di con un ordine parziale su di essi, e la domanda è se esiste una permutazione degli elementi che soddisfa l'ordine ed è tale che la composizione degli elementi in quella l'ordine produce l'elemento neutro del gruppo . $G$ $G$ $e$

Formalmente, il problema -test $G$ è il seguente, in cui il gruppo è stato risolto: $G$

Input: un insieme finito parzialmente ordinato con una funzione di etichettatura da a . $(P, <)$ $\mu$ $P$ $G$
Output: se esiste un'estensione lineare di (cioè un ordine totale tale che per tutti , implica ), tale che, scrivendo gli elementi di seguendo l'ordine totale come , abbiamo $P$ $(P, <')$ $x, y \in P$ $x < y$ $x <' y$ $P$ $<'$ $x_1, \ldots, x_n$ . $\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Per qualsiasi gruppo , il problema -test è chiaramente in NP. La mia domanda è: esiste un gruppo tale che il problema test è NP-difficile? $G$ $G$ $G$ $G$

Alcune osservazioni sulle dichiarazioni di problemi equivalenti:

Il linguaggio dei poset e delle estensioni lineari può essere equivalentemente sostituito da quello dei DAG e degli ordini topologici. Cioè, se preferisci, puoi pensare all'input come a un DAG con vertici etichettati con elementi di gruppo e come all'output come chiedere se un tipo topologico del DAG in input raggiunge . $e$
Si potrebbe invece considerare un problema più difficile in cui ci viene dato un poset e , e chiedere se (anziché ) possa essere realizzato. In effetti il problema più forte si riduce a quanto sopra: possiamo chiederci se possa essere realizzato da , dove è ma con un elemento etichettato che è più piccolo di tutti gli altri. Da qui la scelta naturale di nella definizione sopra. $(P, <)$ $g \in G$ $g$ $e$ $e$ $(P', <)$ $P'$ $P$ $g^{-1}$ $e$

Ora, sui miei tentativi di risolvere il problema:

Naturalmente, se il gruppo è commutativo, il problema -test è chiaramente in PTIME poiché tutte le estensioni lineari raggiungono lo stesso elemento di gruppo, quindi possiamo semplicemente scegliere uno di essi per ordinamento topologico e verificare se è o no. Quindi il caso interessante è non commutativo . Più in generale, se ha un omomorfismo con un gruppo commutativo non banale (ad es. La firma , per permutazioni), una condizione necessaria ma non sufficiente è di esaminare il problema attraverso l'omomorfismo e verificarlo in PTIME nell'immagine commutativa . Non riesco a vedere se questo può generalizzare a uno schema di decomposizione per tutti i gruppi finiti. $G$ $G$ $e$ $G$ $G$
Se la relazione dell'ordine è vuota (ovvero, ci viene fornito un insieme multiplo di elementi in e possiamo usare qualsiasi permutazione), il problema può essere risolto mediante la programmazione dinamica, dove gli stati sono il numero di occorrenze di ciascun elemento in che sono ancora non utilizzato (ricordare che è fisso, quindi il numero di stati è quindi polinomiale nell'input). $G$ $G$ $G$
Per input che sono poset di larghezza costante, possiamo usare un algoritmo dinamico a seguito di una decomposizione a catena. Quindi, se la durezza tiene, deve usare input poset che sono arbitrariamente ampi. Si noti che per ampi poset il numero di possibili "stati" in un approccio di programmazione dinamica sarebbe il numero di sconvolgimenti del poset, che in generale è esponenziale e non polinomiale, quindi tale approccio non funziona direttamente.
$G$
$e$

$G$ $G$ $G$ $G$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$

— a3nm
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G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

C'è un modo per usare il teorema di Barrington (o qualcosa di simile ad esso) qui? Non riesco a capire come, come non riesco a capire come organizzare correlazioni a lungo termine tra le scelte fatte quando si seleziona l'ordine totale, ma forse qualcun altro vedrà come farlo.

— DW

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$G$ $G$

prova

$f(x) = -x$ $g_a(x) = x + a$

$G$ $f$ $g_a$

$G$ $\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$ $n+2$ $f$ $n$ $g_{a_i}$ $i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$ $f \circ g_p \circ f = g_{-p}$ $P$ $g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$ $I$ $g_{a_i}$ $f$ $g_0$ $P$ $\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $I$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $G$

— Mikhail Rudoy
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G

$G$

G

$G$

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Con il mio coautore, abbiamo appena pubblicato una prestampa che studia questo problema più in generale per le lingue normali. Nel caso di gruppi finiti, sosteniamo che il problema è trattabile (in NL) nel caso in cui l'ordine parziale sugli elementi sia costituito da un'unione di catene: vedi Teorema 6.2. Supponiamo che il problema per i DAG generali sia anche in NL, e c'è qualche speranza di estendere la tecnica a quell'impostazione, ma ci manca un ingrediente per questo, correlato a questa domanda - per i dettagli, vedere la prestampa, Sezione 6, paragrafo "Limitazioni" alla fine, seconda limitazione.

— a3nm
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