Quali problemi nella geometria computazionale o nella teoria dei grafi si ritiene siano ?


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Questo è inteso come una domanda di follow-up al precedente post di Robin Kothari sui risultati della durezza del tempo polinomiale .

In particolare, sono interessato a vedere alcune prove di durezza per problemi che si ritiene abbiano limiti inferiori approssimativamente , e dico approssimativamente per consentire miglioramenti leggermente subcubici giocando con la dimensione della parola (come quella per 3SUM di Barab et al. [Via Springer] ). Sarei felice di mantenere i problemi nel modello dell'albero decisionale se semplifica le risposte.Ω(n3)

Dal post di Robin, ho appreso del documento di Jeff Erikson che fornisce un limite inferiore di per 5SUM (più precisamente, mostra che -SUM viene eseguito in tempo in generale).Ω(n3)kΩ(nk/2)

Esistono documenti o altri riferimenti che utilizzano tali riduzioni per ipotizzare limiti inferiori cubici per problemi nella geometria computazionale o nella teoria dei grafi?


Entrambe queste risposte mi sono state utili, grazie! Inoltre, il puntatore di Jeff al lavoro di Timothy è stato molto apprezzato, è un risultato molto bello.
Bob Fraser

Risposte:


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Penso che l'articolo " Equivalenze subcubiche tra problemi di percorso, matrice e triangolo " di V. Vassilevska Williams e R. Williams sia quello che stai cercando. Il suo estratto contiene l'elenco dei seguenti problemi sui grafici:

  • Il problema dei percorsi più brevi per tutte le coppie su digrafi ponderati (APSP).
  • Rilevare se un grafico ponderato ha un triangolo di peso del bordo totale negativo.
  • Elencando fino a triangoli negativi in ​​un grafico ponderato.n2.99
  • Il problema dei percorsi di sostituzione su digrafi ponderati.
  • Trovare il secondo percorso più breve tra due nodi in un digrafo ponderato.

Secondo l'abstract, l'articolo riguarda quanto segue:

Definiamo una nozione di riducibilità subcubica e mostriamo che molti importanti problemi su grafici e matrici risolvibili nel tempo sono equivalenti nelle riduzioni subcubiche.O(n3)


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Ma vedi anche l'algoritmo APSP subcubico di Timothy Chan, che NON gioca ai giochi bit: springerlink.com/content/px2741688g4p4l18
Jeffε

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È quindi possibile utilizzare le riduzioni a questi problemi come punto di partenza per dimostrare limiti inferiori. Vedi ad esempio la sezione 5 nel seguente documento: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/03/lms/lms.pdf . Anche le sezioni 4 e 5 nel seguente documento: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/expand_cover.pdf . Sono sicuro che ci sono altri esempi - questi sono solo articoli su cui ho lavorato e ricordano che usano simili argomentazioni.

Ad esempio, quanto sopra dimostra che, dato un insieme di semispazi ponderati in , trovare la copertura di peso minimo di da questi semispazi richiede tempo di .55Ω(n5)

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