Incorporamento isometrico di L2 in L1

E 'noto che dato un sottoinsieme-point di (che è, dato punti in con la distanza euclidea) è possibile inserirli in modo isometrico \ ell ^ {n \ scelgono 2 } _1 .$n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

L'isometria è calcolabile nel tempo polinomiale (possibilmente, randomizzato)?

Poiché ci sono problemi di precisione finita, la domanda precisa è

Dato un insieme $X$ di $n$ punti in ${\mathbb R}^d$ e $\epsilon >0$ , esiste una mappatura $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ calcolabile (possibilmente, usando la casualità) in tempo polinomiale in $n$ e logaritmica in $1/\epsilon$ tale che per ogni $x,y\in X$ abbiamo

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Nota: sono consapevole che una mappatura con distorsione $(1+\epsilon)$ può essere trovata con alta probabilità nel tempo polinomiale in $n$ e $1/\epsilon$ proiettando su $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ linee casuali, ma non sono sicuro che il numero di dimensioni possa essere ridotto in modo costruttivo a $n\choose 2$ o anche $O(n^2)$ quando $1/\epsilon$ è molto più grande di $n$ , e non so se ci è un metodo temporale polinomiale per gestire il caso in cui $1/\epsilon$ è esponenziale in $n$ .)

Suresh mi ha chiesto di riunire i miei commenti sopra in una risposta, quindi eccolo qui. Non sono davvero sicuro che sia una risposta alla domanda originale, dal momento che non è ovvio come renderlo polinomiale quando la dimensione dello spazio euclideo di input non è costante. Ha almeno il vantaggio di evitare qualsiasi problema con grandi dimensioni come pone la domanda originale, perché non comporta alcuna approssimazione e sembra polinomiale per costante .$1/\epsilon$$d$

Comunque: dalla geometria integrale, c'è una misura standard su insiemi di iperpiani nello spazio euclideo dimensionale che è invariante sotto le congruenze euclidee. Ha la proprietà che la lunghezza di qualsiasi curva a lunghezza limitata è proporzionale alla misura degli iperpiani che attraversano (con molteplicità, il che significa che se un iperpiano attraversa due volte, contribuisce due volte alla misura totale degli iperpiani che attraversano ). In particolare se è un segmento di linea, allora non si presenta la complicanza della molteplicità e possiamo normalizzare la misura sugli iperpiani che attraversano per essere esattamente la lunghezza di$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$. (Gli iperpiani contenenti hanno misura zero, quindi non preoccuparti della infinita molteplicità.)$C$

Ora, dato un insieme di n punti nello spazio d-dimensionale, crea una coordinata per ciascuna delle partizioni dei punti in due sottoinsiemi indotti da un iperpiano che non attraversa nessuno dei punti. Assegnare i punti su un lato del valore delle coordinate della partizione zero e i punti sull'altro lato del valore delle coordinate della partizione pari alla misura dell'insieme di iperpiani che inducono quella partizione.$\ell_1$

Se e sono due dei punti, sia l'insieme di iperpiani che attraversano il segmento della linea , e siano i sottoinsiemi di formati da ogni possibile partizione dell'iperpiano che ha da un lato e dall'altro. Quindi è l'unione disgiunta di e le differenze di coordinate tra e sono solo le misure dei sottoinsiemi . Pertanto, la distanza tra le coordinatizzazioni di e$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ (la somma delle misure di ) è la misura di , che è solo la distanza originale tra e .$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

Per i geometri computazionali, può essere utile una descrizione alternativa della stessa costruzione: utilizzare la dualità proiettiva per trasformare gli punti di ingresso in iperpiani e separare gli iperpiani in punti. La misura geometria integrale su gruppi di iperpiani viene poi trasformato in una misura più standard su insiemi di punti, la distanza tra e dualizes alla misura del doppio cuneo tra due iperpiani, e le partizioni disposizione iperpiani questo doppio cuneo in celle più piccole . Il valore delle coordinate per un punto è la misura di una delle celle nella disposizione (se l'iperpiano doppio è sotto la cella di quella coordinata) o zero (se l'iperpiano doppio è sopra la cella). quindi, il$n$$n$$p$$q$$\ell_1$ distanza tra e è solo la somma delle misure delle celle nel doppio cuneo, che è la stessa della misura dell'intero doppio cuneo. Questo doppio punto di vista semplifica anche il calcolo della dimensione dell'incorporamento trovato in questo modo: è solo il numero di celle nella disposizione dell'iperpiano, che è , o più precisamente al massimo .$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Finora, questo dà un incorporamento completamente deterministico ed esatto in . Ma volevamo una dimensione più piccola, . Qui è dove il commento di Luca circa il teorema di Carathéodory entra in gioco. Il set di metriche -representable forma un cono poliedrica nel spazio dimensionale di tutte le funzioni di coppia non ordinata di punti da numeri reali, e l'argomento geometrica sopra dice che la metrica euclidea appartiene a questo cono. I punti sui raggi estremi del cono sono monodimensionali$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$pseudometria (in cui i punti sono divisi in due set, tutte le distanze all'interno di un singolo set sono zero e tutte le distanze attraverso la divisione sono uguali), e Carathéodory afferma che qualsiasi punto all'interno del cono (incluso quello a cui teniamo) può essere rappresentato come una combinazione convessa di punti su raggi estremi il cui numero è al massimo la dimensione dello spazio ambientale, . Ma una combinazione convessa al massimo di metriche monodimensionali è una metrica .$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

Infine, come possiamo calcolare effettivamente l' incorporamento bidimensionale ? A questo punto non abbiamo solo un punto nel cono convesso di metriche (la metrica della distanza con cui abbiamo iniziato), ma abbiamo anche un insieme di punti estremi del cono (corrispondente alle partizioni dell'ingresso in due sottoinsiemi indotti da iperpiani) in modo tale che la nostra metrica sia una combinazione convessa di questi punti estremi - per la piccola , questo è un grande miglioramento rispetto ai raggi estremi che il cono ha complessivamente. Ora tutto ciò che dobbiamo fare è applicare un avido algoritmo che elimini i punti estremi dal nostro set, uno per uno, fino a quando solo$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$di loro sono rimasti. Ad ogni passo, dobbiamo mantenere come invariante che la nostra metrica è ancora all'interno dello scafo convesso dei punti estremi rimanenti, che è solo un problema di fattibilità di programmazione lineare, e se lo facciamo Carathéodory assicurerà che rimanga sempre un insieme di punti estremi il cui scafo convesso contiene la metrica di input.$n\choose 2$