Una struttura di dati per richieste minime di prodotti a punti

Considera equipaggiato con il prodotto dot standard e vettori lì: . Vogliamo costruire una struttura di dati che consenta query del seguente formato: dato output . È possibile andare oltre il banale tempo di query O (nm) ? Ad esempio, se n = 2 , è immediato ottenere O (\ log ^ 2 m) .$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

L'unica cosa che mi viene in mente è la seguente. È una conseguenza immediata del lemma di Johnson-Lindenstrauss che per ogni $\varepsilon > 0$ e una distribuzione $\mathcal{D}$ su $\mathbb{R}^n$ esiste una mappatura lineare $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$ (che può essere valutato in tempo $O(n \log m)$ ) in modo tale che $\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$ . Quindi, nel tempo $O((n + m) \log m)$ possiamo calcolarequalcosa che è in un certo senso vicino a $\min_i \langle x, v_i \rangle$ per la maggior parte delle $x$ (almeno se le norme $\|x\|$ e $\|v_i\|$ sono piccole).

UPD Il limite sopra menzionato può essere in qualche modo affilato al tempo di query $O(n + m)$ se utilizziamo l'hash sensibile alla località. Più precisamente, scegliamo $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ vettori gaussiani indipendenti $r_1, r_2, \ldots, r_k$ . Quindi $\mathbb{R}^n$ su $\{0,1\}^k$ come segue: $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . Quindi possiamo stimare l'angolo tra due vettori all'interno di un errore additivo $\varepsilon$ calcolando $\ell_1$ nell'immagine di questa mappatura. Pertanto, possiamo stimare i prodotti a punti all'interno di un errore additivo$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$nel tempo $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ .

Considerare il caso speciale in cui si desidera solo determinare se il vettore di query è ortogonale a un vettore nella raccolta preelaborata. (Cioè, vuoi determinare se , dove i vettori in discussione hanno coefficienti non negativi.) Questo caso è già molto interessante.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

Supponiamo di poter rispondere alle query in tempo per alcuni , con preelaborazione (il i gradi del polinomio non dovrebbero dipendere da o o ).n O ( 1 ) m 1 - δ δ > 0 m O ( 1 ) n O ( 1 ) m n $n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

Nel documento "Un nuovo algoritmo per la soddisfazione ottimale di 2 vincoli e le sue implicazioni", ho osservato che una tale struttura di dati consentirebbe effettivamente di risolvere CNF-SAT in tempo per alcuni , dove è il numero di variabili. Ciò confuterebbe la "Ipotesi del tempo esponenziale forte" che k-SAT richiede essenzialmente tempo per illimitato .2 α v α < 1 v 2 n$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

Per capire perché, supponiamo che il tempo di preelaborazione sia limitato da . Considera una formula CNF con variabili e clausole. Dividiamo l'insieme di variabili in due parti e di dimensione e , rispettivamente. Elencare tutte le possibili assegnazioni alle variabili nelle parti (ottenendo rispettivamente e . Associa ciascuna di queste assegnazioni parziali con un vettore -bit dove iff the$(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$la clausola di non è soddisfatta da . Quindi abbiamo due liste di esponenzialmente molti vettori di bit.$F$$A_i$

Si noti che è soddisfacibile sse esiste un vettore da un'assegnazione su e un vettore w 2 da un'assegnazione su P 2 in modo tale che ⟨ w 1 , w 2 ⟩ = 0 .$F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

Ora lascia m = 2 v / ( 2 c ) e preelabora la struttura dati presunta con tutti i vettori della parte P 2 . Ciò presuppone n 2 v / 2 tempo, per ipotesi. Eseguire l'algoritmo di query su tutti i vettori dalle assegnazioni nella parte P 1 . Supponendo che ciò richieda 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) ⋅ n O ( 1 ) m 1 - δ = $m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$O ( 1 ) 2 v - δ v / ( 2 c ) . Siaα=1-δ / (2c).$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

Forse è possibile ottenere una preelaborazione efficiente e tempi di interrogazione n O ( 1 ) m 1 - 1 / ( log log m ) con tecniche esistenti. Gli algoritmi CNF-SAT più noti non lo escludono. (Ottengono qualcosa come 2 n - n / log n ). Ma per calcolare min i ⟨ x , v i ⟩ è leggermente più forte - in questa configurazione, sarebbe come risolvere MAX CNF-SAT.$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

Ecco un'idea per la risposta esatta, che sospetto che Chao Xu stia alludendo. Innanzitutto osserva che potremmo anche normalizzare x , come sottolinea Chao. Ora considera l'iperpiano h normale alla direzione x . L'obiettivo è trovare il punto più vicino a questo iperpiano. Per dualità, ciò corrisponde a una query di ray ray in una disposizione di iperpiani per trovare il piano più vicino "sopra" il punto di query. Dal momento che questo può essere preelaborato, la complessità principale è la posizione del punto, e quindi il tuo problema è stato ora ridotto alla complessità del fare la posizione del punto in una disposizione di iperpiani. Utilizzando talee, questo può essere fatto in O ( log n ) tempo in n $x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$ spazio.