Complessità di calcolo della trasformata discreta di Fourier?

Qual è la complessità (sulla RAM intera standard) del calcolo della trasformata di Fourier discreta standard di un vettore di numeri interi?$n$

L' algoritmo classico per trasformazioni veloci di Fourier , impropriamente ^[1] attribuito a Cooley e Tukey, viene generalmente descritto come in esecuzione nel tempo . Ma la maggior parte delle operazioni aritmetiche eseguite in questo algoritmo iniziano con complesse radici di unità, che sono (per la maggior parte ) irrazionali, quindi una valutazione esatta a tempo costante non è ragionevole. Lo stesso problema sorge con l' algoritmo -time (che si moltiplica per una matrice Vandermonde di radici complesse di unità).n n O ( n 2$O(n \log n)$$n$$n$$O(n^2)$

Non è nemmeno chiaro come rappresentare esattamente l'output del DFT (in qualsiasi forma utile). In altre parole, non è chiaro che il calcolo dei DFT sia effettivamente possibile!

Supponiamo quindi di aver bisogno solo di bit di precisione in ciascun valore di output. Qual è la complessità del calcolo della trasformata di Fourier discreta, in funzione di e ? (Per concretezza, sentiti libero di assumere è un potere di ).n b$b$$n$$b$$n$$2$

O ogni istanza di "FFT" in letteratura significa in realtà "rapida trasformazione teorica dei numeri "? ^[2]

Vedi le mie domande correlate sulla complessità dell'eliminazione gaussiana e sui percorsi più brevi euclidei .

_{^[1] Dovrebbe davvero essere chiamato (qualche prefisso di) l'algoritmo Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey.}

_{^[2] E se sì, perché la maggior parte dei libri di testo descrive solo l'algoritmo dei numeri complessi?}

Questa risposta è una variante dell'analisi del primo algoritmo ("Methode A") di Schönhage e Strassen per la moltiplicazione di numeri interi lunghi.

Supponiamo di voler calcolare un FFT di lunghezza . Scalare l'input tale che tutti i valori sono più piccoli 1. Vediamo prima presupposto che si calcola con bit fisso aritmetica ( bit dopo il punto binario). Sia essere l'unità ("complessa") della posizione minima. Let . m m δ = 2 1 / 2 - m ω = exp ( 2 π i / K $K = 2^k$$m$$m$$\delta = 2^{1/2 -m}$$\omega = \exp(2\pi i/K)$

1) Si possono calcolare approssimazioni tali che per tutti . Questo può essere fatto nel tempo dove è il tempo necessario per moltiplicare i numeri -bit. (vedi Knuth Vol. 2, 3a ed., pagina 309). | ω ′ j - ω j | ≤ ( 2 k - 1 ) δ 0 ≤ j ≤ K - 1 O ( K M ( m ) ) M ( m ) $\omega_j'$$|\omega_j' - \omega^j| \le (2k-1)\delta$$0 \le j \le K-1$$O(K M(m))$$M(m)$$m$

Se la RAM intera standard significa costo logaritmico, allora . Se la RAM intera standard indica la parola RAM, allora . (Schönhage e Strassen mostrano in "Methode A" come ridurre in tempo lineare la moltiplicazione dei numeri -bit alla moltiplicazione dei numeri di bit . Quest'ultimo può essere fatto a costi unitari.)$M(m) = O(m \log m)$$M(m) = O(m)$$m$$m$$O(\log m)$

2) La classica FFT Cooley-Tukey calcola le operazioni della forma . Usiamo l' aritmetica a punto fisso bit, queste operazioni diventano . Se conosciamo e fino a un errore di , otteniamo fino a un errore di .$a = b + \omega^j c$$m$$a' = truncate(b' + \omega_j' c')$$b'$$c'$$\epsilon$$a'$$2\epsilon + 2k\delta$

3) Usando l'induzione, è facile vedere che otteniamo il risultato finale con errore . Per ottenere la precisione alla fine, . $(2^k - 1) \cdot 2k\delta$$b$$m \ge k + \log k + b + O(1)$

4) Quindi il tempo di esecuzione finale è .$O(K k M(k+b))$

Questo dovrebbe funzionare anche con numeri in virgola mobile: 1) può ancora essere fatto con aritmetica in virgola fissa, 2) vale anche per numeri in virgola mobile.

Nell'aritmetica a virgola fissa, penso, può anche essere fatto più velocemente. Innanzitutto riduciamo il calcolo della FFT alla moltiplicazione dei polinomi usando il trucco di Bluestein. La lunghezza dei coefficienti necessari per ottenere la precisione desiderata dovrebbe essere . Quindi riduciamo la moltiplicazione dei polinomi alla moltiplicazione di numeri interi lunghi. (Aggiungi i coefficienti a un numero lungo e separali con blocchi di zero di lunghezza .) La lunghezza degli interi è .$O(k + b)$$O(k+b)$$O(K(k+b))$

Questa non è una risposta completa, ma posso indicarti alcuni documenti pertinenti e anche parzialmente spiegare perché non è così facile estrarre una risposta alla tua domanda specifica dalla letteratura.

Vorrei iniziare chiedendomi, perché vuoi sapere la risposta a questa domanda? In genere, le persone che si prendono cura di questo tipo di problema sono quelle che devono effettivamente implementare una FFT ad alte prestazioni per un'applicazione pratica. Queste persone si preoccupano meno della complessità asintotica in alcuni modelli computazionali idealizzati che della massimizzazione delle prestazioni in base ai loro particolari vincoli hardware e software. Ad esempio, gli sviluppatori della Fastest Transform di Fourier in Occidente scrivono nel loro articolo:

La scelta migliore dipende dai dettagli hardware come il numero di registri, la latenza e il throughput delle istruzioni, le dimensioni e l'associatività delle cache, la struttura della pipeline del processore, ecc.

Questi sono problemi che i teorici in genere non vogliono imbrattare, ma sono di grande importanza nelle implementazioni reali. Se un teorico dichiara: "Ho capito la migliore complessità assoluta di bit asintotici nel modello RAM", il praticante potrebbe dire: "È bello", ma potrebbe trovare un risultato teorico così inutile per i suoi scopi.

Detto questo, penso che la cosa migliore da fare sia guardare la letteratura sull'analisi numerica. Ad esempio, Tasche e Zeuner hanno esaminato da vicino la stabilità numerica dell'algoritmo FFT. Questo potrebbe non essere esattamente quello che vuoi, perché il consenso generale tra i professionisti sembra essere che per raggiungere una determinata quantità di precisione numerica, il miglior approccio pratico è precompilare determinati numeri chiamati "fattori di twiddle " con elevata precisione. Se stai eseguendo solo un FFT, questo non sarà l'approccio più veloce perché non puoi ammortizzare il costo del tuo precomputazione una tantum su un gran numero di calcoli FFT. Tuttavia, la loro analisi dell'errore di arrotondamento nel caso peggiore dovrebbe comunque essere pertinente alla tua domanda.