Complessità di calcolo dei percorsi più brevi nel piano con ostacoli poligonali

Supponiamo di avere diversi poligoni semplici disgiunti nel piano e due punti e t all'esterno di ogni poligono. Il problema del percorso più breve euclideo è calcolare il percorso più breve euclideo da s a t che non interseca l'interno di alcun poligono. Per concretezza, supponiamo che le coordinate di s e t , e le coordinate di ogni vertice poligonale, siano numeri interi.$s$$t$$s$$t$$s$$t$

Questo problema può essere risolto in tempi polinomiali?

La maggior parte dei geometri computazionali direbbe immediatamente di sì, ovviamente: John Hershberger e Subhash Suri hanno descritto un algoritmo che calcola i percorsi più brevi euclidei nel tempo , e questo limite di tempo è ottimale nel modello di albero computazionale algebrico. Sfortunatamente, l'algoritmo di Hershberger e Suri (e quasi tutti gli algoritmi correlati prima e dopo) sembra richiedere l' esatta aritmetica reale nel senso forte seguente.$O(n\log n)$

Chiama un percorso poligonale valido se tutti i suoi vertici interni sono vertici di ostacoli; ogni percorso più breve euclideo è valido. La lunghezza di qualsiasi percorso valido è la somma delle radici quadrate degli interi. Pertanto, il confronto delle lunghezze di due percorsi validi richiede il confronto di due somme di radici quadrate, che non sappiamo fare in tempi polinomiali .

Inoltre, sembra del tutto plausibile che un'istanza arbitraria del problema della somma delle radici quadrate possa essere ridotta a un equivalente problema del percorso più breve euclideo.

Quindi: esiste un algoritmo polinomiale per calcolare i percorsi più brevi euclidei? O il problema è NP-difficile? O la somma delle radici quadrate-dure ? O qualcos'altro?

Alcune note:

• I percorsi più brevi all'interno (o all'esterno) di un poligono possono essere calcolati in tempo senza strani problemi numerici usando l'algoritmo a imbuto standard, almeno se viene data una triangolazione del poligono.$O(n)$

• In pratica, l'aritmetica in virgola mobile è sufficiente per calcolare i percorsi più brevi fino alla precisione in virgola mobile. Sono interessato solo alla complessità del problema esatto .

• John Canny e John Reif hanno dimostrato che il problema corrispondente nello spazio 3 è NP-difficile (moralmente perché potrebbe esserci un numero esponenziale di percorsi più brevi). Joonsoo Choi, Jürgen Sellen e Chee-Keng Yap descrissero uno schema di approssimazione del tempo polinomiale.

• Simon Kahan e Jack Snoeyink hanno considerato problemi simili per il problema relativo dei percorsi di minimo collegamento in un semplice poligono.

Forse mi manca qualcosa, ma se consideriamo il caso "facile", in cui tutti gli ostacoli sono punti, allora abbiamo il problema di calcolare il percorso più breve tra due vertici in un grafico planare, che, se non sbaglio, è noto come somme di radici quadrate-dure.

PS. Volevo aggiungere un commento e non una risposta, ma non riesco a trovare il modo. Mi scuso per quello. Gli amministratori possono aiutarmi per favore con questo.