Risolvere un'equazione diottantina lineare approssimativamente

Considera il seguente problema:

Input : un hyperplane , dato da un vettore e nella rappresentazione binaria standard. $H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$ $b \in \mathbb{Z}$

Output : $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

Nella notazione sopra per e è definito come , ovvero è la distanza euclidea naturale tra un insieme di punti e un singolo punto . $d(\mathbf{x}, S)$ $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ $S \subseteq \mathbb{R}^n$ $d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

In parole, ci viene dato un iperpiano e stiamo cercando il punto nel reticolo intero che è più vicino all'iperpiano.

La domanda è:

Qual è la complessità di questo problema?

Si noti che il tempo polinomiale qui significherà polinomio nella dimensione in bit dell'input. Per quanto posso vedere il problema è interessante anche in due dimensioni. Quindi non è difficile vedere che è sufficiente considerare solo quelle soluzioni $(x_1, x_2)$ con $0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ ma sono molte opzioni superpolinomiali.

Un problema strettamente correlato è la risoluzione di un'equazione diottantina lineare, ovvero la ricerca di un $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$ tale che $\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$ o la determinazione del fatto che no $\mathbf{x}$ esiste. Quindi, risolvere un'equazione diofantea lineare equivale a determinare se esiste una soluzione di valore 0 al problema che ho definito sopra. Un'equazione diofantea lineare può essere risolta in tempo polinomiale; infatti anche i sistemi di equazioni diottantine lineari possono essere risolti in tempo polinomiale calcolando la forma normale di Smith della matrice $\mathbf{A}$ fornisce il sistema. Esistono algoritmi temporali polinomiali che calcolano la forma normale di Smith di una matrice intera, la prima data daKannan e Bachem .

Per ottenere intuizione sulle equazioni diottantine lineari possiamo considerare di nuovo il caso bidimensionale. Chiaramente, non esiste una soluzione esatta se $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ non divide $b$ . Se divide $b$ , è possibile eseguire l'algoritmo GCD esteso per ottenere due numeri $s$ e $t$ tali che $a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ e impostare $x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ e $x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ . Ora puoi vedere come la versione approssimativa è diversa: quando $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ non divide $b$ , come possiamo trovare gli interi $x_1, x_2$ tale che la distanza tra $(x_1, x_2)$ e la linea $a_1x_1 + a_2x_2 =b$ è ridotta al minimo?

Il problema per me suona un po 'come il problema del vettore più vicino nei reticoli, ma non vedo un'ovvia riduzione da un problema all'altro.

— Sasho Nikolov
fonte

L' approssimazione di approssimazioni diottantane simultanee buone Quasi NP-Hard , C Rössner e JP Seiffert, MFCS 96 rispondono alla tua domanda?

— Kai,

no non lo è: l'approssimazione diofantina è un problema diverso dalla risoluzione di un'equazione diottantina. in un problema di approssimazione diottantina ti vengono dati numeri reali e vuoi moltiplicarli tutti per un singolo numero intero modo che tutti siano entro da un numero intero. il problema è trovare il compromesso ottimale tra le dimensioni di e . Non vedo una relazione tra il mio problema e questo.

n

$n$

Q

$Q$

ϵ

$\epsilon$

Q

$Q$

ϵ

$\epsilon$

— Sasho Nikolov,

Qual è il tuo formato di input? Sembra che se due valori di coordinate di sono accurati, allora il minimo in questione è zero (si intersecano con il piano bidimensionale appropriato per ottenere un'equazione della forma con e incommensurate , ad esempio irrazionale, quindi usa i risultati standard su per mostrare che la linea passa arbitrariamente vicino ai punti reticolari.

a

$\mathbf{a}$

s x + t y = w

$sx+ty=w$

s

$s$

t

$t$

α \equiv \frac{s}{t}

$\alpha \equiv \frac{s}{t}$

{n α} (\mod 1)

$\left\{n\alpha\right\}\pmod 1$

— Steven Stadnicki,

In particolare, questo significa che il tuo 'min' dovrebbe essere un 'inf' (sinuso che lo stai prendendo su infiniti punti) e il problema se si distingue dalla domanda se esiste qualche con . Ciò significa che i coefficienti di devono essere numeri razionali affinché il problema abbia una soluzione non banale, e quindi il problema sembra assumere una forma molto euclidea, strettamente accoppiata agli algoritmi GCD multidimensionali. Mi sto perdendo qualcosa?

i n f d (x, H) = 0

$\mathrm{inf}\ d(\mathbf{x},H)=0$

x

$\mathbf{x}$

d (x, H) = 0

$d(\mathbf{x},H)=0$

a

$\mathbf{a}$

— Steven Stadnicki,

@StevenStadnicki giusto. puoi assumere e (lo aggiungerò alla domanda, devo averlo perso). l'input è dato nella rappresentazione binaria standard. la domanda è interessante anche quando . allora è sufficiente considerare tutte le possibili soluzioni con , ma la ricerca bruteforce sarà superpolinomiale nella rappresentazione binaria di .

a \in Z^{n}

$\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$

b \in Z

$b \in \mathbb{Z}$

n = 2

$n = 2$

(x_{1}, x_{2})

$(x_1, x_2)$

x_{1} \leq | a_{1} | / g c d (a_{1}, a_{2})

$x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$

a_{1}, a_{2}

$a_1, a_2$

— Sasho Nikolov,

Va bene, dopo averci pensato di più credo di avere una riduzione esplicita da questo problema a GCD esteso; Lo spiegherò nel caso , ma credo che si estenda a arbitrario . Nota che questo trova un che minimizza la distanza dall'iperpiano, ma non necessariamente il più piccolo (in effetti ci sono infiniti valori che raggiungono la stessa distanza minima) - Credo che l'ultimo problema sia fattibile, ma non ci ho ancora pensato. L'algoritmo si basa su alcuni semplici principi: $n=2$ $n$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{x}$

Se , il set di valori assunto da è precisamente ; inoltre, i valori e con possono essere trovati in modo efficiente (questo è esattamente l'algoritmo euclideo esteso). $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$ $\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$ $x_1$ $x_2$ $a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
La distanza minima dall'iperpiano a un punto sul reticolo è la distanza minima da un punto sull'interpiano all'iperpiano (ovvio, ma utile inversione del problema).
La distanza da un dato punto all'iperpiano è proporzionale a(in particolare, è volte questo valore - ma poiché moltiplicare tutte le distanze per questo valore non ha alcun effetto sulla posizione del minimo, possiamo ignorare il fattore di normalizzazione). $\mathbf{x}$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$ $\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$ $1/|\mathbf{a}|$

Ciò suggerisce la seguente procedura:

Calcola , insieme a tale che . $g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$ $x^0_1, x^0_2$ $a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
Calcola e calcola ; è la distanza minima (ridimensionata) dal reticolo all'iperpiano. Let essere o o ( , a meno che è un multiplo di ) a seconda di quale si raggiunge la distanza minima. $r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$ $d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$ $d$ $s$ $r$ $r+1$ $=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$ $b$ $g$
Calcola e ; allora è il multiplo più vicino di a , e quindiraggiunge il minimo di questa distanza su tutti i punti reticolari. $x_1 = sx^0_1$ $x_2 = s x^0_2$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$ $g$ $b$ $\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

Per quanto ne so, la stessa identica procedura dovrebbe funzionare correttamente in dimensioni arbitrarie; la chiave è che il GCD dimensionale soddisfa ancora l'identità di Bezout, e quindi per trovare la distanza minima da un punto reticolare devi solo trovare il multiplo più vicino di a . $n$ $g$ $b$

— Steven Stadnicki
fonte