Quali solutori lineari iterativi convergono per matrici semidefinite positive?

Voglio sapere quali dei classici solutori lineari (ad es. Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) sono sicuri di convergere per il problema dove è positivo semi definito e ovviamente $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

(L'avviso è semi definito e non definito) $A$

— olamundo
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Intendi matrici semi definite definite positive?

— meawoppl

A che serve risolvere un sistema lineare con tale matrice? Se non sbaglio, se la tua matrice semidefinita positiva non è singolare, allora è semplicemente definita positiva.

— Faleichik

Sì, sono sicuro. Devo rinfrescare la mia memoria per quanto riguarda la prova effettiva, ma per quello che stavi dicendo - se il denominatore nel calcolo di

è zero, significa che

è zero, il che significa che tutte le "direzioni di ricerca" in cui A non è singolare è stato esaurito, e il residuo con cui rimani non è nell'intervallo di A (e quindi questa è la soluzione "ottimale"). Nel caso in cui in realtà

, ciò non accadrà poiché il residuo raggiungerà lo zero appena prima della prima volta

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

Impostare

. Quindi

. CG converge a causa di

per tutti

. In altre parole, non lasci mai

per cui

è definito positivo.

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik: le matrici a densità ridotta nella meccanica quantistica sono semi-definite positive in moltissimi casi.

— Deathbreath

Risposte:

L'algoritmo del gradiente coniugato funziona per problemi semidefiniti e produce la soluzione di norma minima.

— Arnold Neumaier
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Grazie. Qualche idea sui solutori "arcaici", ad esempio SOR Gauss-Seidel ecc.

— olamundo

Non vengono quasi più utilizzati e non so come si comportino.

— Arnold Neumaier,

Per chiarire: CG certamente non funziona in forma di vaniglia per matrici semi-definite; potrebbe funzionare in teoria se B è nell'immagine di A; ma è improbabile che ciò finisca bene nella pratica numerica. Il MINRES molto simile basato su Krylov è una scelta molto migliore qui. Inoltre, questi solutori "arcaici" sono ampiamente usati nei solutori di tipo multigrid, per citarne un esempio.

— Eelco Hoogendoorn,

$b$ $A$

Lo stesso non è vero per Jacobi; che è un peccato da chi vuole preoccuparsi di Gauss-Seidel su hardware per computer moderno? Se il tuo problema può essere diviso in blocchi dominanti in diagonale, sei fortunato; puoi applicare gli aggiornamenti Jacobi a quei blocchi in modo Gauss-Seidel incrementale e ottenere il meglio da entrambi per questo tipo di problemi semi-definiti.

— Eelco Hoogendoorn
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