Come viene motivato il Multigrid accelerato da Krylov (usando MG come precondizionatore)?

Multigrid (MG) può essere usato per risolvere un sistema lineare costruendo un'ipotesi iniziale e ripetendo quanto segue per fino alla convergenza: $Ax=b$ $x_0$ $i=0,1..$

Calcola il residuo $r_i = b-Ax_i$
Applicare un ciclo multigrid per ottenere un'approssimazione , dove . $\Delta x_i \approx e_i$ $Ae_i = r_i$
Aggiorna $x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

Il ciclo multigriglia è una sequenza di smoothing, interpolazione, restrizione, e risolvere gestione della rete grossolana esatta applicato a per produrre . In genere si tratta di un ciclo V o di un ciclo W. Questa è un'operazione lineare, quindi scriviamo . $r_i$ $\Delta x_i$ $\Delta x_i = B r_i$

Si può interpretare questo processo come iterazione di Richardson precondizionata. Cioè, aggiorniamo . $x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

L'iterazione di Richardson è un metodo prototipo del sottospazio di Krylov, che suggerisce l'uso di cicli multigrid per precondizionare altri metodi del sottospazio di Krylov. Questo a volte viene chiamato multigrid "accelerante" con un metodo Krylov, o in alternativa può essere visto come una scelta di un precondizionatore per un metodo Krylov.

Un altro modo per estendere l'algoritmo sopra è utilizzare Full Multigrid (FMG). Vedi questa risposta per una descrizione sintetica.

In quali situazioni è preferibile la MG accelerata da Krylov a MG o FMG?

— Patrick Sanan
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(F) MG è abbastanza sensibile, se una modalità non è adeguatamente smorzata dalla correzione più fluida o a due livelli, il tutto si blocca. Il metodo Krylov può aiutare a smorzare queste modalità problematiche. Quindi è principalmente motivato dalla robustezza, per quanto ho capito.

— chris,

$b-Ax$

Tuttavia, in molti casi pratici, non viene utilizzato un metodo multigrid ottimale o efficace. Questo potrebbe essere perché

tale metodo è sconosciuto o non disponibile per il problema dato
gli smoothers e gli operatori intergrid non sono sufficienti per garantire la convergenza dei libri di testo
il solutore della griglia grossolana è inesatto

$BA$

Si noti che la scelta di utilizzare un metodo non ottimale potrebbe comportare un ciclo multigrid molto "più economico", al punto che l'accelerazione di Krylov ripaga. Cioè, potrebbero esserci problemi (e sistemi informatici) in cui MG accelerata da Krylov può superare MG. Sarei interessato a trovare un esempio concreto di questo.

(Grazie a @chris sopra e Matt Knepley che hanno menzionato alcuni dei precedenti in un tutorial)

— Patrick Sanan
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