Proiettando lo spazio nullo di

Dato il sistema dove , leggo che, nel caso in cui l'iterazione Jacobi sia utilizzata come solutore, il metodo non converge se ha un componente diverso da zero nello spazio nullo di . Quindi, come si può affermare formalmente che, a condizione che abbia un componente diverso da zero che copra lo spazio nullo di , il metodo Jacobi non è convergente? Mi chiedo come possa essere formalizzato matematicamente, poiché parte della soluzione ortogonale allo spazio nullo converge.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

Pertanto, proiettando lo spazio nullo di su ciascuna iterazione, converge (o?). $A$

.........

Sono particolarmente interessato al caso di cui è una matrice laplaciana simmetrica con lo spazio nullo attraversato da un vettore , e ha una componente zero in lo spazio nullo di , dove

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

è la matrice di centraggio. Ciò implica che ogni iterato di Jacobi avrà lo spazio nullo di

proiettato fuori, cioè ogni iterato saràcentrato? Lo sto chiedendo da allora non sarebbe necessario proiettare lo spazio nullo di

dalle iterate di Jacobi (o, in altre parole,centrarele iterate).

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

— Usero
fonte

Questa domanda potrebbe essere rilevante anche per te: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo,

Grazie. In realtà ho fatto un estratto dei miei commenti lì, poiché la domanda merita attenzione da sola. Tuttavia, quanto sopra non è stato affrontato (almeno non formalizzato).

— usero,

Oh, peccato per me, non ho verificato che fosse una tua domanda.

— shuhalo,

@JedBrown La tua risposta su scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… ha ispirato questa domanda. Penso che meriti una considerazione indipendente. Immagino che sarai in grado di considerare le domande precedenti.

— usero,

$A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

Ma se questo è il caso, esiste una soluzione e nel caso quadrato ce ne sono infiniti.

$A$ $A^T$ $A$

— Arnold Neumaier
fonte

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ è costante per induzione, quindi zero. - Ma perché ti importa del metodo Jacobi? È molto lento!

— Arnold Neumaier,

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$