Schemi impliciti di differenza finita per l'equazione di avanzamento

Esistono numerosi schemi FD per l'equazione di avanzamento discussi nel web. Ad esempio qui: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Ma non ho visto nessuno proporre uno schema controvento "implicito" come questo: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Tutti gli schemi sopravento che ho visto riguardavano i dati del precedente passaggio temporale nella derivata spaziale. Qual è la ragione? Come si confronta il classico schema controvento con quello che ho scritto sopra?

È abbastanza comune nella fluidodinamica computazionale usare schemi impliciti simili a ciò che proponi. Quelli che conosco si basano su formule di differenza finita compatte (non semplicemente sulla sostituzione di con n + 1 negli schemi esistenti). Ad esempio, uno degli schemi più utilizzati è stato sviluppato da Lele nel 1992 in questo documento con> 2500 citazioni. Tali schemi possono avere proprietà dispersive migliori rispetto ai tipici schemi espliciti.$n$$n+1$

Il riavvolgimento di solito è meno importante quando si utilizzano metodi impliciti e grandi dimensioni di passi temporali, poiché l'enorme quantità di diffusione (menzionata da Jeremy) significa che non è possibile risolvere comunque gli shock.

Per quanto riguarda il particolare schema che proponi:

• Può essere ottenuto da una discretizzazione del metodo delle linee usando una differenza all'indietro nello spazio e il metodo di Eulero all'indietro (implicito) nel tempo.
• È incondizionatamente stabile fintanto che (è interessante notare che è stabile anche per u < 0 se il passo temporale non è troppo piccolo !) $u\ge0$$u<0$
• È più dissipativo del tradizionale schema esplicito controvento controvento.
• A differenza dello schema di controvento esplicito, non soddisfa la condizione CFL dell'unità (cioè, non è esatto nel caso in cui ). Invece soddisfa la condizione CFL anti-unità (è esatto se τ u / h = - 1 ).$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Non c'è motivo per cui non puoi fare ciò che hai scritto. Uno dei motivi per cui questo non è comune è che lì per problemi di tipo iperbolico (avanzamento) il dominio della dipendenza è finito. Pertanto, un metodo esplicito ha senso dal punto di vista dell'efficienza computazionale.

Lo schema implicito che hai scritto richiederà di risolvere un sistema lineare, anche se nel caso in cui tu abbia scritto triangolare, e quindi abbastanza semplice da risolvere. Ovviamente quando vai su sistemi e dimensioni multiple, il sistema probabilmente non sarà triangolare, anche se a volte questo può risultare con un corretto ordinamento di incogniti (vedi ad esempio Kwok e Tchelepi, JCP 2007 e Gustafsson e Khalighi, JSC, 2006 ).

A volte nella speranza di fare grandi passi nel tempo le persone useranno il passo temporale implicito come hai scritto, ma devi stare attento qui. Quando si utilizza un metodo implicito, si introdurrà una grande quantità di diffusione in modo da macchiare la soluzione in modo significativo.