Utilità di elementi con stabilità dipendente dalla maglia

Dopo aver fatto un po 'di matematica correlata alla stabilità degli elementi nel problema di Stokes 3D, sono rimasto leggermente scioccato nel rendermi conto che non è stabile per una mesh tetraedrica arbitraria. Più precisamente, nel caso in cui si abbia un elemento in cui tutti i nodi e tre facce su quattro si trovano sul confine del dominio con una condizione di Dirichlet, si ottiene una matrice singolare. Questo è in effetti abbastanza banale per concludere dalla forma debole del sistema Stokes. $P_2-P_1$

Ho testato l'unico codice commerciale di Stokes a cui ho accesso (COMSOL) e mi ha permesso di creare una simile mesh. Facendo clic su risolve ottengo "Errore: matrice singolare" come previsto. (Ho l'impressione che COMSOL utilizzi per il suo modulo di flusso strisciante.) $P_2-P_1$

Per verificare ulteriormente che il problema non fosse correlato ad altre configurazioni, ho provato la seguente mesh e tutto funziona come previsto.

Domande: questo tipo di vincolo viene preso in considerazione nei generatori di mesh (adattativi o non adattativi)? Vedo da vari articoli di ricerca che questo elemento sembra essere abbastanza popolare. Questo tipo di instabilità al contorno viene generalmente ignorato come insignificante quando si sceglie un metodo da usare? Cosa ancora più importante, cosa significa realmente avere un elemento finito stabile , cioè che tipo di instabilità dipendenti dalla mesh sono troppi per concludere che il metodo è cattivo?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
fonte

Domanda interessante! A mio avviso, questi elementi derivano in genere dalla generazione di mesh tetraedriche strutturate su cubi e simili e svolgono solo un ruolo secondario in applicazioni reali in cui sono presenti algoritmi di nodalizzazione non strutturati. Ho provato un po 'di tempo fa e non sono stato in grado di produrre una mesh simile con un generatore di mesh che produce mesh completamente non strutturate. Ho il sospetto che utilizzino un meccanismo per evitare tali elementi troppo vincolati. Tuttavia, non ho accesso a COMSOL, ma suppongo che per la maggior parte dei solutori questo elemento non rappresenti un problema significativo.

— Christian Waluga,

Mi chiedo se questo sia anche un problema con l'elemento MINI?

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Generatori di mesh generalmente hanno un'opzione per gestire questo, ad esempio il generatore bamgdi mesh 2D di freefem++ha -splitpbedgeun'opzione che aggiunge un nodo nel mezzo di qualsiasi bordo con entrambe le estremità sul bordo. Secondo la bamgdocumentazione, la generazione di mesh non strutturata può restituire tali triangoli.

— joce
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Sei sicuro che questo sia il caso, ad esempio, di Taylor-Hood in 2D Stokes? La mia intuizione mi dice che il DOF relativo al limite salva la situazione lì. In 3D Taylor-Hood non esiste alcun DOF correlato alla faccetta e quindi si verifica l'instabilità.

— Knl

Hai ragione, potrebbe essere il caso. Penso che la prova Verfuhrt della condizione inf-sup per Taylor-Hood sia abbastanza costruttiva per verificarlo, ma non c'è tempo per ora.

— Joce,