Risolvere un enorme sistema lineare denso?

C'è qualche speranza nel risolvere efficacemente il seguente sistema lineare con un metodo iterativo?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

con

, dove Δ è una matrice molto sparsa con poche diagonali, derivante dalla discretizzazione dell'operatore Laplace. Sulla sua diagonale principale ci sono - 6 e ci sonoaltre 6 diagonali con 1 su di essa.$A=(\Delta - K)$$\Delta$$-6$$6$$1$

è unamatrice R n × n completa che è composta completamente da una.$K$$\mathbb{R}^{n \times n}$

Risolvere funziona bene con metodi iterativi come Gauss-Seidel, perché è una matrice sparsa in diagonale dominante. Ho il sospetto che il problema A = ( Δ - K ) sia praticamente impossibile da risolvere in modo efficiente per un gran numero di n , ma c'è qualche trucco forse per risolverlo, sfruttando la struttura di K ?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

EDIT: Farebbe qualcosa di simile

// risolvi per x k + 1 con Gauss-Seidel$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

$\Delta$

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Viene creato nel modo seguente in matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Usa il sistema bordato

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

usando un solutore iterativo o diretto.

• $A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$