Quali discretizzazioni spaziali funzionano per un flusso incomprimibile con maglie di contorno anisotrope?

I flussi di numeri di High Reynolds producono strati limite molto sottili. Se la risoluzione a parete viene utilizzata nella simulazione a grande Eddy, le proporzioni potrebbero essere dell'ordine di $10^6$ . Molti metodi diventano instabili in questo regime perché la costante inf-sup degrada come la radice quadrata delle proporzioni o peggio. La costante inf-sup è importante perché influenza il numero di condizione del sistema lineare e le proprietà di approssimazione della soluzione discreta. In particolare, i seguenti limiti a priori sulla riserva di errori discreti (Brezzi e Fortin 1991)

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

dove $\mu$ è la viscosità dinamica e $\beta$ è la costante inf-sup. Da ciò vediamo che come $\beta \to 0$ , le approssimazioni di velocità e (specialmente) pressione peggiorano della migliore disponibile nello spazio degli elementi finiti (ovvero la costante di ottimalità di Galerkin cresce quando $\beta^{-1}$ e $\beta^{-2}$ rispettivamente).

Quali metodi hanno una stabilità inf-sup uniforme indipendentemente dalle proporzioni?

Quali di questi possono essere utilizzati con mesh non strutturate?

In che modo le stime si generalizzano ad approssimazioni di ordine elevato?

Gli schemi MAC a differenza finita (Harlow e Welch 1965) sono uniformemente stabili, ma richiedono griglie strutturate lisce e sono solo accurate al secondo ordine.

I metodi agli elementi finiti sono preferiti per i metodi non strutturati e di ordine elevato. Per i metodi continui di elementi finiti di Galerkin, non esistono spazi noti con proprietà di approssimazione ottimali e uniformemente stabili.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ ha proprietà di approssimazione ottimali ed è localmente conservativo, ma la costante inf-sup degrada come radice quadrata delle proporzioni. Vedi Bernardi e Maday 1999 per i dettagli.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ ha una costante inf-sup indipendente dal rapporto di formato ed è localmente conservativa, ma la costante inf-sup si ridimensiona come quando l'ordine polinomiale viene aumentato (Maday et al. 1992) su maglie regolari. Sulle maglie con nodi pendenti o angoli rientranti, questo limite è marcato in 2D (Schoetzau et al 1998), ma degrada ulteriormente in in 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• L' elemento non conforme ruotato di Rannacher & Turek 1994 è uniformemente stabile, ha proprietà di approssimazione ottimali ed è localmente conservativo, ma non soddisfa una diseguaglianza discreta di Korn, quindi ha bisogno di correzioni al contorno per alcune condizioni al contorno e non può essere usato per flussi a viscosità variabile. Il lavoro successivo degli autori ha cercato di stabilizzare questi metodi usando i flussi di bordi, ma le discretizzazioni risultanti perdono molte delle interessanti proprietà di efficienza.$Q_1-P_0$

• Ainsworth e Coggins 2000 costruiscono spazi altamente tecnici che fanno un po 'meglio, ma sembrano essere di utilità limitata.

Per Galerkin discontinuo, l'immagine è leggermente migliore:

• Lo spazio discontinuo è uniformemente stabile e ha proprietà di approssimazione ottimali (Schoetzau, Schwab e Toselli 2004). Questa combinazione non è disponibile con spazi di velocità continui. La costante inf-sup dipende ancora dal grado polinomiale, tuttavia, ridimensionando come .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$