PDE in molte dimensioni

So che la maggior parte dei metodi per trovare soluzioni approssimative alle PDE si ridimensionano in base al numero di dimensioni e che Monte Carlo viene utilizzato per situazioni che richiedono ~ 100 dimensioni.

Quali sono i buoni metodi per risolvere efficientemente numericamente i PDE in ~ 4-10 dimensioni? 10-100?

Esistono metodi oltre a Monte Carlo che si adattano bene al numero di dimensioni?

pde monte-carlo high-dimensional

— Dan
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Potrebbe aiutare a fornire un po 'più di informazioni sul tipo di problema che stai risolvendo. La maggior parte delle PDE trattate nella scienza computazionale tendono ad essere al massimo quadridimensionali (tempo più tre dimensioni spaziali). Le variabili sono variabili spaziali o temporali o ci sono altre dipendenze che stai includendo?

— aeismail,

Variabili spaziali. Nella meccanica quantistica, se non si vuole fare le approssimazioni che si utilizza nella teoria del funzionale della densità o Hartree-Fock, la funzione d'onda è

dimensionale, dove

è il numero di elettroni. Quindi anche piccoli atomi e molecole richiedono un gran numero di dimensioni per essere maneggiati correttamente.

3 n

$3n$

n

$n$

— Dan,

Dipende molto dalle informazioni che vuoi sapere sulla soluzione. Non si vuole quasi conoscere ogni dettaglio di una funzione d'onda dell'elettrone

. Quindi si deve affinare la tecnica computazionale all'informazione effettivamente desiderata.

n

$n$

— Arnold Neumaier,

Si prega di citare un riferimento per la soluzione Monte Carlo di un'equazione di Schroedinger elettronica in 100 dimensioni.

— Arnold Neumaier,

Non ho un riferimento. Ho sentito parlare solo di simulazioni in quelle dimensioni utilizzate per QCD. Sto solo cercando di fare la simulazione di Schroedinger in 4-5 dimensioni, ma mi chiedevo se al di là del monte carlo qualcosa si ridimensionava bene con il numero di dimensioni e 100 sembrava un bel numero tondo per ottenere il ridimensionamento asintotico.

— Dan,

Risposte:

Un modo più strutturato di fornire una base o quadratura (che può sostituire MC in molti casi) in più dimensioni è quello delle griglie sparse , che combina una famiglia di regole monodimensionali di ordine variabile in modo tale da avere una crescita meramente esponenziale in dimensione, , anziché avere quella dimensione è un esponente della risoluzione . $2^d$ $N^d$

Questo viene fatto attraverso la cosiddetta quadratura di Smolyak, che combina una serie di regole unidimensionali come $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Ciò equivale allo spazio in quadratura del prodotto tensoriale con gli alti ordini misti rimossi dallo spazio. Se ciò viene fatto in modo abbastanza grave, la complessità potrebbe essere notevolmente migliorata. Tuttavia, per essere in grado di fare questo e mantenere una buona approssimazione, la regolarità della soluzione deve avere derivati misti sufficientemente svanenti.

Griglie sparse sono state battute a morte dal gruppo Griebel per cose come l'equazione di Schrödinger nello spazio di configurazione e altre cose ad alta dimensione con risultati piuttosto buoni. Nell'applicazione, le funzioni di base utilizzate possono essere piuttosto generali, purché sia possibile nidificarle. Ad esempio, le onde piane o le basi gerarchiche sono comuni.

È anche abbastanza semplice codificarti. Dalla mia esperienza, in realtà farlo funzionare per questi problemi, tuttavia, è molto difficile. Esiste un buon tutorial .

Per problemi le cui soluzioni vivono in spazi specializzati di Sobolev con derivati che muoiono rapidamente, l'approccio a griglia sparsa può potenzialmente produrre risultati ancora maggiori .

Vedi anche il documento di revisione di Acta Numerica, Discrete discretizzazioni tensoriali di PDE parametrici e stocastici ad alta dimensione .

— Peter Brune
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Ci sono esempi ben noti in cui le griglie sparse non sono applicabili?

— MRocklin,

Hai davvero bisogno della regolarità da tenere. Inoltre, se hai brutte cuspidi ad alta dimensione (come in QM), devi stare attento. Ho sentito alcune storie di cricca Sparse griglia di partenza a concedere (con prove pari) che non è che molto meglio di Monte-Carlo, ma non riesco a trovare un buon riferimento.

— Peter Brune,

Bene, il documento su griglia sparsa per schroedinger che hai citato tratta solo 2 elettroni. Quanti elettroni sono effettivamente trattabili con il metodo?

— Arnold Neumaier,

Come regola generale, è facile capire perché le griglie regolari non possono andare molto oltre i problemi tridimensionali o tridimensionali: in dimensioni d, se si desidera avere un minimo di N punti per direzione delle coordinate, si otterrà N ^ d punti complessivi. Anche per funzioni relativamente belle in 1d, hai bisogno di almeno N = 10 punti griglia per risolverli del tutto, quindi il numero complessivo di punti sarà 10 ^ d - cioè anche sui computer più grandi è improbabile che vada oltre d = 9, e probabilmente non andare molto al di là mai . Le griglie sparse possono aiutare in alcune circostanze se la funzione di soluzione ha determinate proprietà, ma in generale dovrete convivere con le conseguenze della maledizione della dimensionalità e seguire i metodi MCMC.

— Wolfgang Bangerth
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Cosa significa MCMC?

— Dan,

Catena di Markov Monte Carlo: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Paolo
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O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$