Connessioni tra moduli differenziali e metodo del volume finito del secondo ordine

Leggendo oggi sulla teoria delle forme differenziali, sono rimasto impressionato da quanto mi ha ricordato il Metodo del volume finito (FVM) del secondo ordine.

Sto lottando per capire che pensare in questo modo è semplicemente banale o c'è qualche connessione più profonda.

Bene, le forme differenziali servono a generalizzare alcuni concetti profondamente radicati nell'FVM del secondo ordine, come il flusso di fluido attraverso una superficie, e noi siamo tutti incentrati sui flussi nell'FVM. Quindi il teorema integrale (di Stokes) è uno degli oggetti centrali nella teoria delle forme differenziali. La sua dimostrazione implica un'integrazione di forme differenziali su una varietà in cui compaiono simplex (triangoli, tetraedri, ecc.). Il collettore è in realtà tassellato nello stesso modo in cui rappresentiamo una forma liscia su cui passa il fluido utilizzando celle a bordi diritti.

Queste sono solo alcune delle cose simili. Il fatto è che la lettura di forme differenziali mi ha impedito di smettere di pensare a FVM.

Il metodo del volume finito del secondo ordine rappresenta effettivamente la manifestazione computazionale della teoria delle forme differenziali?

Un modo di pensare a una forma differenziale è "qualcosa di integrabile su una varietà k- dimensionale". L'esempio più familiare sarebbe la forma del volume d $k$$k$$dx$$\int_0^1 x^2 dx$$x^2$$0$

Il teorema di Stokes generalizza molte delle identità che conosci dal calcolo vettoriale, come il teorema delle divergenze. Queste identità vengono applicate alle leggi integrali di conservazione per calcolare i flussi attraverso i limiti nei metodi del volume finito, quindi, come sospetti, dovresti essere in grado di scrivere tutto in termini di forme differenziali.

Le tecniche geometriche differenziali sono utilizzate nella formulazione / comprensione dei metodi agli elementi finiti (volume).

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