Crank-Nicolson è uno schema di discretizzazione stabile per l'equazione Reazione-Diffusione-Avanzamento (convezione)?

Non ho molta familiarità con i comuni schemi di discretizzazione per le PDE. So che Crank-Nicolson è uno schema popolare per discretizzare l'equazione di diffusione. È anche una buona scelta per il termine di consulenza?

Sono interessante nel risolvere l' equazione Reazione-Diffusione-Advection ,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

dove è il coefficiente di diffusione della sostanza e è la velocità.$D$$u$$\boldsymbol{v}$

Per la mia specifica applicazione l'equazione può essere scritta nel modulo,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

Ecco lo schema Crank-Nicolson che ho applicato,

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

Nota i termini e . Ciò consente allo schema di spostarsi tra:$\alpha$$\beta$

• $\beta=\alpha=1/2$ Crank-Niscolson,
• $\beta=\alpha=1$ è completamente implicito
• $\beta=\alpha=0$ è completamente esplicito

I valori possono essere diversi, il che consente al termine di diffusione di essere Crank-Nicolson e il termine di avanzamento di essere qualcos'altro. Qual è l'approccio più stabile, cosa consiglieresti?

Questa è una domanda ben strutturata e una cosa molto utile da capire. Korrok ha ragione a riferirti all'analisi di von Neumann e al libro di LeVeque. Posso aggiungere un po 'di più a quello. Vorrei scrivere una risposta dettagliata, ma al momento ho solo tempo per una breve:

Con , ottieni un metodo assolutamente stabile per passi di dimensioni arbitrariamente grandi e accurato del secondo ordine. Tuttavia, il metodo non è stabile a L , quindi le frequenze molto alte non verranno smorzate, il che non è fisico.$\alpha=\beta=1/2$

Con , ottieni un metodo che è anche incondizionatamente stabile, ma solo accurato del 1 ° ordine. Questo metodo è molto dissipativo. È stabile a L.$\alpha=\beta=1$

Se prendi , il tuo metodo può essere inteso come applicazione di un metodo additivo Runge-Kutta alla semi-discretizzazione a differenza centrata. L'analisi di stabilità e accuratezza per tali metodi è notevolmente più complicata. Un ottimo documento su tali metodi è qui .$\alpha\ne\beta$

L'approccio da raccomandare dipende fortemente dalla grandezza di , dal tipo di dati iniziali che hai a che fare e dalla precisione che cerchi. Se l'accuratezza molto bassa è accettabile, allora è un approccio molto solido. Se è moderato o grande, allora il problema è dominato dalla diffusione e molto rigido; in genere darà buoni risultati. Se è molto piccolo, può essere vantaggioso utilizzare un metodo esplicito e un riavvolgimento di ordine superiore per i termini convettivi.$D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

In generale, ti consigliamo di utilizzare un metodo implicito per le equazioni paraboliche (la parte di diffusione) - gli schemi espliciti per la PDE parabolica devono avere un tempo molto breve per essere stabili. Al contrario, per la parte iperbolica (consigli) vorrai un metodo esplicito in quanto è più economico e non interrompe la simmetria del sistema lineare che devi risolvere usando uno schema implicito per la diffusione. In tal caso, si desidera evitare differenze centrate come passare a differenze unilaterali per motivi di stabilità.$(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

Suggerirei di guardare il libro di Randy Leveque o il libro di Dale Durran per "Analisi della stabilità di von Neumann". È un approccio generale per accertare la stabilità del tuo schema di discretizzazione, a condizione che tu abbia periodiche condizioni al contorno. (C'è anche un buon articolo wiki qui .)

L'idea di base è assumere che la tua approssimazione discreta possa essere scritta una somma di onde piane , dove è il numero d'onda e la frequenza. Accumuli un'onda piana nella tua approssimazione alla PDE e preghi che non esploda. Possiamo riscrivere l'onda piana come e vogliamo assicurarci che .$e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

A titolo illustrativo, considerare l'equazione di diffusione ordinaria con la differenziazione completamente implicita:

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

Se sostituiamo in un'onda piana, quindi dividiamo per ed , otteniamo l'equazione$\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

Puliscilo un po 'ora e otteniamo:

$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$ .

Questo è sempre meno di uno, quindi sei in chiaro. Prova ad applicare questo per lo schema esplicito e centrato per l'equazione di avanzamento:

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

e vedere cosa si ottiene. (Questa volta avrà una parte immaginaria.) Lo troverai , che è un periodo triste. Da qui la mia ammonizione di non usarla. Se riesci a farlo, non dovresti avere molti problemi a trovare uno schema stabile per l'equazione completa di diffusione-avanzamento.$\xi$$|\xi|^2 > 1$

Detto questo, utilizzerei uno schema completamente implicito per la parte di diffusione. Cambia la differenza nella parte di in se e se e scegli un timestep in modo che . (Questa è la condizione di Courant-Friedrichs-Lewy .) È solo accurata al primo ordine, quindi potresti voler cercare schemi di discretizzazione di ordine superiore se ciò ti riguarda.$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$