Metodi iterativi per sistemi indefiniti senza struttura a blocchi

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I sistemi indefiniti di matrici appaiono ad esempio nella discretizzazione dei problemi del punto di sella da parte di elementi finiti misti. La matrice di sistema può quindi essere inserita nel modulo

(\begin{matrix} A & B^{t} \\ B & C \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$

dove è negativo (semi) -finito, è positivo (semi-) definito e è arbitrario. Naturalmente, a seconda della convenzione, è possibile utilizzare le condizioni di chiarezza, ma questa è praticamente la struttura di quelle matrici. $A$ $C$ $B$

Per questi metodi, si può impiegare il metodo di Uzawa, che in realtà è solo un "trucco" per trasformare il sistema in un sistema semi-definito equivalente che può essere risolto dal gradiente coniugato, dalla discesa del gradiente e simili.

Devo affrontare un sistema indefinito che non ha una struttura a blocchi. I metodi di tipo Uzawa non si applicano in quel caso. Sono a conoscenza del metodo Minimal Residual (MINRES) introdotto da Paige & Saunders, che è solo una ricorsione a tre termini e sembra essere facile da implementare.

Domanda: MINRES è generalmente una buona scelta, diciamo, per la prototipazione? Ha qualche rilevanza pratica? Il precondizionamento non è un problema centrale al momento.

linear-algebra iterative-method

— shuhalo
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Puoi dire qualcosa in più su ciò che rende speciali le tue matrici? Ad esempio, da che tipo di problema proviene? C'è qualche altro tipo di struttura ad esso? Ecc. Ecc.

— Bill Barth,

L'ho lasciato intenzionalmente vuoto, per ottenere la risposta più generale (francamente, ciò presuppone implicitamente che ci sia una risposta generale soddisfacente). Ma l'esempio con l'equazione di Helmholtz di seguito è piuttosto quello che avevo in mente.

— shuhalo,

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Se non sei preoccupato per il precondizionamento, MINRES è la scelta standard. Tuttavia, tenere presente che MINRES richiede un precondizionatore definito positivo simmetrico.

Se si è interessati al precondizionamento, è importante considerare le differenze strutturali tra la maggior parte dei problemi del punto di sella e i problemi generali indefiniti. La maggior parte dei problemi relativi ai punti di sella si presentano quando si risolvono problemi ellittici con vincoli applicati dai moltiplicatori di Lagrange. Incompressibilità e vincoli di contatto sono esempi comuni. Per tali problemi, l'operatore è coercitivo sul sottospazio in cui il vincolo è soddisfatto, con le funzioni di Green che decadono rapidamente. Tali problemi possono essere risolti in modo efficiente utilizzando precondizionatori di blocchi (Uzawa precondizionato è un membro di questa famiglia), multigrid con smoother compatibili (ad esempio Vanka o basato sulla decomposizione di blocchi) o decomposizione di domini multilivello con appropriati problemi locali e grossolani.

L'esempio prototipico di un problema indefinito che non è un problema di sella è l'equazione di Helmholtz

- \nabla \cdot (a \nabla u) - k^{2} u = f

$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$

$a(x)$ $k$

— Jed Brown
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Ad essere onesti, mentre i grandi precondizionatori sono certamente tecnici per implementare in modo efficiente in parallelo, l'idea non è specifica per Helmholtz; il requisito principale è una condizione al contorno assorbente (ad es. strati perfettamente abbinati).

— Jack Poulson,

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Una domanda correlata che potrebbe essere di interesse è Quali linee guida devo seguire quando scelgo un risolutore di sistemi lineare sparsa? , anche se in questo caso, ti interesserebbero solo i metodi iterativi. La mia comprensione dei metodi iterativi è che la convergenza per ogni dato metodo dipende fortemente dallo spettro della tua matrice. Anche se non puoi usare il metodo di Uzawa, puoi comunque provare GMRES, gradiente stabilizzato biconjugate, MINRES, il metodo residuo quasi minimale e altri metodi iterativi che si applicano alle matrici indefinite.

Se la codifica dei vari metodi è un problema, potresti chiamare solutori nel tuo algoritmo usando una libreria come PETSc , che implementa una varietà di solutori lineari iterativi.

— Geoff Oxberry
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MINRES è la scelta migliore per questo tipo di problema.

— Kees Vuik
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— Jed Brown,

Potresti per favore approfondire il motivo per cui MINRES è la scelta migliore per questo tipo di problema? L'aggiunta di maggiori dettagli contribuirà a rendere la tua risposta più utile per la community e ti consentirà di ottenere più voti.

— Geoff Oxberry,