Tasso di convergenza del solutore FFT Poisson

Qual è il tasso di convergenza teorico per un solutore FFT Poison?

Sto risolvendo un'equazione di Poisson: con sul dominio con periodico condizione al contorno. Questa densità di carica è neutra al netto. La soluzione è data da: where . Nello spazio reciproco dove sono i vettori di spazio reciproco. Sono interessato all'energia Hartree: n ( x , y , z ) =

$$\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)$$ [0,2]×[0,2]×[0,2]VH(x)=∫n( y $$n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)$$ $[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$x=(x,y,z)VH(G)=4πn(G $$V_H({\bf x}) = \int {n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 y$$ ${\bf x}=(x, y, z)$ GEH= $$V_H({\bf G}) = 4\pi {n({\bf G})\over G^2}$$ ${\bf G}$ $$E_H = {1\over 2} \int {n({\bf x}) n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 x d^3 y = {1\over 2} \int V_H({\bf x}) n({\bf x}) d^3 x$$ Nello spazio reciproco questo diventa (dopo la discretizzazione): Il termine viene omesso, il che rende effettivamente neutra la densità di carica (e poiché è già neutrale, quindi tutto è coerente). G= $$E_H = 2\pi \sum_{{\bf G}\ne 0} {|n({\bf G})|^2\over G^2}$$ ${\bf G}=0$

Per il problema di prova sopra, questo può essere valutato analiticamente e si ottiene: Quanto velocemente dovrebbe convergere questa energia?

$$E_H = {128\over 35\pi} = 1.16410...$$

Ecco un programma che utilizza NumPy che esegue il calcolo.

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

Ed ecco un grafico di convergenza (solo tracciando conv.txtdallo script sopra, ecco un quaderno che lo fa se vuoi giocare con questo da solo):

Come puoi vedere, la convergenza è lineare, il che è stata una sorpresa per me, ho pensato che FFT converge molto più velocemente di così.

Aggiornamento :

La soluzione ha una cuspide al limite (non me ne ero reso conto prima). Affinché FFT converga rapidamente, la soluzione deve avere tutti i derivati ​​lisci. Quindi ho anche provato il seguente lato destro:

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Che puoi semplicemente inserire nello script sopra ( script aggiornato ). La soluzione esatta è , che dovrebbe essere infinitamente differenziabile. L'integrale esatto in questo caso è . Tuttavia, il risolutore FFT converge ancora solo linearmente verso questa soluzione esatta, come può essere verificato eseguendo lo script sopra e disegnando la convergenza ( notebook aggiornato con grafici).E H = 3 $V_H=\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)$$E_H = \frac{3\pi}{8}$

Qualcuno conosce qualche benchmark in 3D in modo che io possa vedere una convergenza più veloce di quella lineare?

Vorrei prima rispondere a tutte le domande:

Qual è il tasso di convergenza teorico per un solutore FFT Poison?

La convergenza teorica è esponenziale purché la soluzione sia sufficientemente regolare.

Quanto velocemente dovrebbe convergere questa energia?

$E_H$

Qualcuno conosce qualche benchmark in 3D in modo che io possa vedere una convergenza più veloce di quella lineare?

Qualsiasi lato destro che produce una soluzione periodica e infinitamente differenziabile (anche oltre il confine periodico) dovrebbe convergere esponenzialmente.

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Nel codice qui sopra sembra esserci un bug, che rende la convergenza più lenta dell'esponenziale. Utilizzando il codice di densità uniforme ( https://gist.github.com/certik/5549650/ ), la seguente patch corregge il bug:

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Il problema era che il campionamento dello spazio reale non può ripetere il primo e l'ultimo punto (che ha lo stesso valore a causa della condizione al contorno periodica). In altre parole, il problema era nella configurazione del campionamento iniziale.

Dopo questa correzione, la densità converge in una iterazione, come ha detto Matt sopra. Quindi non ho nemmeno tracciato i grafici di convergenza.

Tuttavia, si può provare una densità più difficile, ad esempio:

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

quindi la convergenza è esponenziale, come previsto. Ecco i grafici di convergenza per questa densità: