La pressione come moltiplicatore di Lagrange

Nelle incomprimibili equazioni di Navier-Stokes, il termine pressione viene spesso indicato come un moltiplicatore di Lagrange che impone il condizione di incomprimibilità.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

In che senso è vero? Esiste una formulazione delle equazioni incomprimibili di Navier-Stokes come problema di ottimizzazione soggetto al vincolo di incomprimibilità? In tal caso, esiste un analogo numerico in cui le equazioni del flusso fluido incomprimibile sono risolte in un quadro di ottimizzazione?

— Ben
fonte

Ciò è più semplice considerando le equazioni stazionarie di Stokes che equivale al problema Se annoti il Lagrangiano e quindi le condizioni di ottimalità di questi problemi di ottimizzazione, scoprirai che effettivamente la pressione è il moltiplicatore di Lagrange.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Questa equivalenza tra problemi non viene sfruttata in nessuno schema numerico (che io conosca) ma è uno strumento importante nell'analisi perché mostra che le equazioni di Stokes sono essenzialmente l'equazione di Poisson su un sottospazio lineare. Lo stesso vale per le equazioni di Stokes dipendenti dal tempo (che corrispondono all'equazione del calore nel sottospazio) e possono essere estese alle equazioni di Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
fonte

Grazie per un'ottima risposta Sai se questa formulazione può essere estesa al caso dipendente dal tempo?

— Ben

Sì, come ho detto, porta a un'equazione del calore nel sottospazio delle funzioni libere da divergenze.

— Wolfgang Bangerth,

Scusa, avrei dovuto essere più chiaro. C'è un modo per rifondere le equazioni di Stokes (o Navier-Stokes) dipendenti dal tempo come un problema di ottimizzazione, possibilmente di un funzionale integrato nel tempo?

— Ben

Non come un problema di ottimizzazione: la soluzione dell'equazione del calore non minimizza nulla (sebbene sia il punto fermo di una funzione lagrangiana). Ma puoi formulare le equazioni di Stokes come segue: Trova modo che per tutti soggetto al vincolo che . Si noti che ho scelto uno spazio di prova più piccolo dello spazio di prova e quindi il lato sinistro e destro dell'equazione variazionale non saranno uguali. La differenza è la pressione.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth,