Qual è la differenza tra FEM implicita e FEM esplicita?

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Qual è esattamente la differenza tra FEM esplicita e FEM implicita? Secondo il post qui , sembra che l'unica differenza sia se si utilizza l'integrazione temporale implicita o esplicita.

Come ricordo da un libro che ho letto, la FEM implicita è quella in cui la massa non viene aggregata ai nodi.

Quali sono le definizioni esatte di FEM esplicito e implicito?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
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Il metodo FEM per problemi transitori in genere utilizza il metodo delle linee, ovvero la discretizzazione spaziale è disaccoppiata dalla discretizzazione temporale: dove è il vettore di quantità nodali, assunto come funzioni sconosciute del tempo. In questa ipotesi del PDE spazio-tempo sono ridotti (discretizzato) per ODE in solo usando l'usuale macchine FEM per problemi statici.

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Come già sottolineato da altre risposte, parliamo di FEM esplicito o implicito con riferimento allo schema di integrazione temporale di questi ODE.

Con riferimento ai problemi della meccanica del continuum (senza smorzamento), finiamo con un sistema di ODE come dove e sono le forze equivalenti nodali interne ed esterne. Per problemi lineari .

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

A rischio di un'eccessiva semplificazione, supponiamo che in uno schema esplicito devi solo risolvere che è banale se la matrice di massa è raggruppata. Al contrario, nei metodi impliciti è necessario risolvere le equazioni (non) lineari . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Per rispondere pienamente alla tua domanda: esplicito / implicito si riferisce alla soluzione del sistema ODE e non alla natura della matrice di massa. Naturalmente ogni ragionevole implementazione di uno schema esplicito richiede il raggruppamento della matrice di massa, altrimenti i vantaggi del metodo vanno persi nella soluzione per . Al contrario, per schemi impliciti è possibile avere matrici di massa sia concentrate che coerenti. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
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Sì, è l'integrazione temporale ma significa anche che:

Devi risolvere un sistema lineare di tipo Ax = b nello schema implicito dove non lo fai come nello schema esplicito, poiché la matrice di massa aggregata ha solo voci diagonali, quindi inv (M) è banale.
Il tuo passaggio nello schema esplicito è limitato dai criteri CFL per la stabilità. Gli schemi impliciti sono incondizionatamente stabili (anche se in pratica è ancora necessario un ragionevole intervallo di tempo per l'accuratezza)

In genere i problemi in cui gli effetti inerziali sono importanti (ad es. Propagazione delle onde) sono risolti da schemi espliciti in cui i problemi quasi statici utilizzano solitamente uno schema implicito. Tuttavia ci sono eccezioni.

— stali
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Negli schemi impliciti sorgono non solo sistemi di equazioni lineari, ma (ad esempio nella modellazione fluida) si ottengono sistemi di equazioni non lineari.

— Miseria,

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I termini "esplicito" e "implicito" sorgono nella discretizzazione temporale, e questi termini sono già usati in letteratura sulle equazioni differenziali ordinarie (cioè, non sono specifiche del metodo degli elementi finiti). Vale la pena dare un'occhiata a un libro che discute della soluzione numerica degli ODE, ad esempio Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
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