Applicazione delle condizioni al contorno di Dirichlet all'equazione di Poisson con metodo del volume finito

Vorrei sapere come vengono normalmente applicate le condizioni di Dirichlet quando si utilizza il metodo del volume finito su una griglia non uniforme centrata sulla cella,

La mia attuale implementazione impone semplicemente la condizione al contorno del mio fissare il valore della prima cella,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

dove è la variabile soluzione e g D ( x L ) è il confine valore della condizione Dirichlet ai sx del dominio ( NB x L ≡ x 1 / 2 ). Tuttavia, ciò non è corretto perché la condizione al contorno dovrebbe correggere il valore della faccia della cella e non il valore della cella stessa. Quello che dovrei davvero applicare è,$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Ad esempio, risolviamo l'equazione di Poisson,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

con condizione iniziale e condizioni al contorno,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(dove è una condizione al contorno di Neumann sul lato destro).$g_N(x_R)$

$g_D(x_L)=0$

Domanda

$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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Aggiornare

Ecco il mio tentativo di utilizzare un approccio di cellula fantasma che hai suggerito, sembra ragionevole?

$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Tuttavia, questo approccio ha recuperato la definizione instabile, quindi non sono sicuro di come procedere? Ho interpretato il tuo consiglio in modo errato (@Jan)? La cosa strana è che sembra funzionare, vedi sotto,

Vedi sotto, funziona,

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

La stabilità e la convergenza (di primo ordine nella massima norma discreta) per il problema del poisson sono state dimostrate da Grossmann & Roos per le reti, con celle di confine distinte con i loro "centri" sul confine effettivo, come illustrato nel mio disegno per un caso 1D.

Qui, il quoziente differenziale sull'interfaccia è approssimato in modo semplice.

Direi che le cellule fantasma sono l'approccio comune, per due motivi.

• Imitano la situazione stabile descritta nel mio disegno ma con una condizione al contorno interpolata
• Sono semplicemente attaccati al confine fisico. Pertanto, si può usare una triangolazione del dominio, che è anche vantaggioso, poiché spesso si hanno anche BC naturali che sono direttamente imposti sull'interfaccia [ Grossmann & Roos , p. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Quello che trovi qui è perché i volumi finiti non sono usati frequentemente per le equazioni ellittiche per le quali si pongono le condizioni di Dirichlet. Sono utilizzati per le leggi di conservazione in cui sono indicate le condizioni più naturali in termini di flussi.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Naturalmente, una cosa che deve anche essere verificata è la stabilità della tua discretizzazione con l'approssimazione del secondo ordine al limite. Dalla parte superiore della mia testa, non so se sarà stabile combinato con un'approssimazione centrata del secondo ordine all'interno. Un'analisi di stabilità della matrice te lo dirà di sicuro. (Sono praticamente certo che l'approssimazione del primo ordine al confine sarà stabile.)

Menzionate la possibilità di usare i punti fantasma. Questo porta al problema che devi estrapolare dall'interno al punto fantasma e usare il bc nel processo. Sospetto, ma non l'ho "dimostrato", che almeno alcuni trattamenti con i punti fantasma sono equivalenti all'uso del tipo di approccio che ho delineato sopra.

Spero che questo aiuti un po '.